Enunciado

Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A

A = 1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 ;           b → = 4 3 5 7

Passo 1

Um vetor b → está no espaço coluna de A se a expressão abaixo for possível:

A ⋅ x → = b →

Então o que vamos fazer é conferir se existe algum vetor x → possível, e qual os valores desse vetor. Então vamos resolver o sistema abaixo:

1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 3 5 7

1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 ⋮ ⋮ 4 3 5 7  

Vamos pegar a primeira linha e subtrair na terceira:

1 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 2 1 1 2 2 ⋮ ⋮ 4 3 1 7  

Vamos pegar a segunda linha e subtrair na quarta linha:

1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 1 1 2 1 ⋮ ⋮ 4 3 1 4  

Vamos pegar a quarta linha e subtrair na três linhas de cima:

1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 ⋮ ⋮ 0 - 1 - 7 4  

Vamos pegar a terceira linha, multiplicar por dois, e subtrair na segunda linha:

1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⋮ ⋮ 0 13 - 7 4  

E vamos pegar a segunda linha, multiplicar por dois, e subtrair na primeira linha:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⋮ ⋮ - 26 13 - 7 4  

Daqui chegamos em:

x 1 = - 26 x 2 = 13 x 3 = - 7 x 4 = 4

Passo 2

Agora podemos expressar a combinação linear:

A ⋅ x → = b →

1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 - 26 13 - 7 4 = 4 3 5 7

Para expressar a combinação linear entre uma matriz e um vetor, basta associar as colunas da matriz, com as linhas do vetor:

Então, a combinação linear entre a matriz e o vetor é:

- 26 1 0 1 0 + 13 2 1 2 1 - 7 2 1 2 1 + 4 1 1 3 2 = 4 3 5 7

Resposta

- 26 1 0 1 0 + 13 2 1 2 1 - 7 2 1 2 1 + 4 1 1 3 2 = 4 3 5 7

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