Enunciado

Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A

A = 1 9 2 - 1 3 1 1 1 1 ;           b → = 5 1 - 1

Passo 1

Um vetor b → está no espaço coluna de A se a expressão abaixo for possível:

A ⋅ x → = b →

Então o que vamos fazer é conferir se existe algum vetor x → possível, e qual os valores desse vetor. Então vamos resolver o sistema abaixo:

1 9 2 - 1 3 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 = 5 1 - 1

Podemos solucionar utilizando Eliminação de Gauss Jordan.

1 9 2 - 1 3 1 1 1 1 ⋮ ⋮ 5 1 - 1  

Vamos pegar a primeira linha, multiplicar por 9 e subtrair na segunda linha. Depois vamos pegar a primeira linha, multiplicar por dois e subtrair da terceira linha:

1 0 0 - 1 12 2 1 - 8 0 ⋮ ⋮ 5 - 44 - 6  

Vamos pegar a terceira linha e dividir por dois:

1 0 0 - 1 12 1 1 - 8 0 ⋮ ⋮ 5 - 44 - 3  

Vamos pegar a terceira linha, multiplicar por 12 e subtrair da segunda linha. Depois vamo pegar a terceira linha novamente e somar na primeira linha:

1 0 0 0 0 1 1 - 8 0 ⋮ ⋮ 2 - 8 - 3  

Vamos divir a segunda linha por - 8 :

1 0 0 0 0 1 1 1 0 ⋮ ⋮ 5 1 - 3  

Vamos pegar a segunda linha e subtrair na primeira linha:

1 0 0 0 0 1 0 1 0 ⋮ ⋮ 1 1 - 3  

Chegamos em:

x 1 = 1 x 2 = - 3 x 3 = 1

Passo 2

Agora podemos expressar a combinação linear:

A ⋅ x → = b →

1 9 2 - 1 3 1 1 1 1 1 - 3 1 = 5 1 - 1

Para expressar a combinação linear entre uma matriz e um vetor, basta associar as colunas da matriz, com as linhas do vetor:

Então, a combinação linear entre a matriz e o vetor é:

1 ⋅ 1 9 2 - 3 ⋅ - 1 3 1 + 1 ⋅ 1 1 1 = 5 1 - 1

Resposta

1 ⋅ 1 9 2 - 3 ⋅ - 1 3 1 + 1 ⋅ 1 1 1 = 5 1 - 1

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Identifique os vetores linhas e os vetores coluna da matriz: 2 - 1 0 1 3 5 7 - 1 1 4 2 7
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 ;b → = 2 0 0
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 ;b → = 4 3 5 7
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 3 4 - 6 ;b → = - 2 10