Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A

A = 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 ;           b → = 2 0 0

Passo 1

Um vetor b → está no espaço coluna de A se a expressão abaixo for possível:

A ⋅ x → = b →

Então o que vamos fazer é conferir se existe algum vetor x → possível, e qual os valores desse vetor. Então vamos resolver o sistema abaixo:

1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 x 1 x 2 x 3 = 2 0 0

Podemos solucionar utilizando Eliminação de Gauss Jordan.

1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 ⋮ ⋮ 2 0 0  

Vamos pegar a segunda linha e somar na terceira linha:

1 1 0 - 1 1 0 1 - 1 0 ⋮ ⋮ 2 0 0  

Vamos pegar a primeira linha e somar na segunda linha:

1 2 0 - 1 0 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 2 2 0  

Vamos dividir a segunda linha por 2 :

1 1 0 - 1 0 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 2 1 0  

E por fim vamos pegar a segunda linha e subtrair na primeira:

0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 1 1 0  

Daqui chegamos em:

x 1 = 1 x 2 = t - 1 x 3 = t

Passo 2

Agora podemos expressar a combinação linear:

A ⋅ x → = b →

1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 1 t - 1 t = 2 0 0

Para expressar a combinação linear entre uma matriz e um vetor, basta associar as colunas da matriz, com as linhas do vetor:

Então, a combinação linear entre a matriz e o vetor é:

1 ⋅ 1 1 - 1 + t - 1 ⋅ - 1 1 - 1 + t ⋅ 1 - 1 1 = 2 0 0

Resposta

1 ⋅ 1 1 - 1 + t - 1 ⋅ - 1 1 - 1 + t ⋅ 1 - 1 1 = 2 0 0

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