Enunciado

Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A

A = 1 3 4 - 6 ;           b → = - 2 10

Passo 1

Um vetor b → está no espaço coluna de A se a expressão abaixo for possível:

A ⋅ x → = b →

Então o que vamos fazer é conferir se existe algum vetor x → possível, e qual os valores desse vetor. Então vamos resolver o sistema abaixo:

1 3 4 - 6 x 1 x 2 = - 2 10

Podemos solucionar utilizando Eliminação de Gauss Jordan.

1 3 4 - 6 ⋮ ⋮ - 2 10  

Vamos pegar a primeira linha, multiplicar por quatro e subtrair na segunda linha:

1 3 0 - 18 ⋮ ⋮ - 2 18  

Vamos dividir a segunda linha por - 18 :

1 3 0 1 ⋮ ⋮ - 2 - 1  

E vamos pegar a segunda linha, multiplicar por três, e subtrair na primeira linha:

1 0 0 1 ⋮ ⋮ 1 - 1  

Assim, chegamos que:

x 1 = 1 x 2 = - 1

Passo 2

Agora podemos expressar a combinação linear:

A ⋅ x → = b →

1 3 4 - 6 1 - 1 = - 2 10

Para expressar a combinação linear entre uma matriz A e um vetor x → , basta associar as colunas da matriz, com as linhas do vetor:

Então, a combinação linear entre a matriz e o vetor é:

1 ⋅ 1 4 - 1 3 - 6 = - 2 10

Resposta

1 ⋅ 1 4 - 1 3 - 6 = - 2 10

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