Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.

  1. A rotação por um ângulo π 4 em R 2 .

Passo 1

A matriz canônica do operador apresentado é dada por:

T = cos ⁡ π 4 - sen ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4

O problema nos pede para fazer uma inspeção na função apresentada, vamos usar um vetor x → = ( a , b ) .

T ⋅ x → = cos ⁡ π 4 - sen ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 ⋅ a b = ( a 2 2 - b 2 2 , a 2 2 + b 2 2 )

Então o vemos que T rotaciona x → em 45°.

Passo 2

Agora que sabemos o que nosso operador faz, devemos pensar como retornar nosso vetor x → para seu estado original, assim temos:

T - 1 ⋅ x → = cos - ⁡ π 4 - sen - ⁡ π 4 sen - ⁡ π 4 cos - ⁡ π 4 ⋅ a 2 2 - b 2 2 a 2 2 + b 2 2 = ( a , b )

Assim vemos que a inversa da rotação de 45 ° em R 2 será uma rotação por um ângulo de - π 4 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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