Exercícios de Núcleo e Injetividade de uma Matriz - Lista de Exercícios Resolvida

Seja .

Então a dimensão do núcleo de é igual a:

Considere as seguintes afirmações:

Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então a dimensão do núcleo de é zero.

Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então as colunas de são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Ache o núcleo da matriz

E decide se a matriz é ou não injetiva.

Seja uma matriz com linhas e colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:

1. Se , então as colunas são
2. Se , então o núcleo de contém uma reta.
3. Se é injetiva e é a sua forma escalonada, então é injetiva.

Seja A uma matriz tal que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear não trivial de suas colunas. Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de é um conjunto infinito

II - Uma das colunas de é gerada pelas demais

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) Ambas são falsas

(d) I é falsa e II é verdadeira

Suponha que a matriz é e que o seu núcleo é o plano . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

A imagem de é a reta na direção do vetor

O núcleo de é o plano

O núcleo de é a reta na direção do vetor

A imagem de é a reta na direção do vetor

Não sei

Seja A uma matriz . Considere as afirmações:

(I) Se então A é necessariamente injetiva.

(II) Se A é injetiva, então .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Indique qual vetor tem que ser acrescentado à lista para se obter uma base do núcleo da matriz

Nenhum vetor, já é uma base.

Um sistema linear da forma possui uma solução particular e o sistema homogêneo associado tem o conjunto solução Assinale o vetor que não é solução de S:

(a) (2, 2, 4)

(b) (2, 3, 4)

(c) (3, 7, 8)

(d) (1, 1, 2)

Assinale o conjunto que é uma base para o núcleo da matriz :

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja uma matriz :

Se é injetiva, então é injetiva

Se é injetiva, então é injetiva

(a) é verdadeira e é falsa

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) é falsa e é verdadeira

Seja tal que e . As entradas da diagonal de , e , são:

(a) e

(b) e

(c) e

(d) e

Qual dos vetores abaixo pode ser acrescentado ao conjunto para se obter uma base do núcleo da matriz ?

(a) Nenhum vetor, já é base.

(b) (2,1,0,1)

(c) (1,0,1,0)

(d) (1,2,1,0)

Considere as afirmações abaixo:

(I) Considere um sistema linear que não admite solução e seja a matriz aumentada desse sistema. Então

(II) Se o sistema tem solução única, então A é injetiva.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Seja uma matriz cujo núcleo tem como base . Sabendo que é solução de para um certo , uma outra solução do mesmo sistema é dada por:

Seja uma matriz e uma de suas formas escalonadas. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

1. A dimensão do núcleo de é igual à dimensão do núcleo de .
2. O núcleo de é igual ao núcleo de .

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Seja Assinale o valor de para que o núcleo de tenha dimensão igual a .

Sejam A e B matrizes tais que o produto AB está definido. Considere as afirmações:

(I) Se , então é subespaço de .

(II) contém .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Seja .

Então a dimensão do núcleo de é igual a:

Considere as seguintes afirmações:

Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então a dimensão do núcleo de é zero.

Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então as colunas de são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Sejam e . Defina (interseção do núcleo de com o núcleo de ). A dimensão de é: