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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 11a

Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes.

A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1  

Passo 1

Oieee, como é que tá?!

A primeira coisa a fazer é encontrar a matriz transposta de A , com esse resultado vamos fazer o produto com A , depois achar o determinante dessa matriz, e por fim aplicar o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes.

Passo 2

O nosso produto vai ficar assim:

A T . A = - 1 2 0 3 1 1 2 3 1   . - 1 3 2 2 1 3 0 1 1   = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

a 11 = - 1 - 1 + 2.2 + 0.0 = 1 + 4 + 0 = 5

a 12 = - 1 . 3 + 2.1 + 0.1 = - 3 + 2 + 0 = - 1

a 13 = - 1 . 2 + 2.3 + 0.1 = - 2 + 6 + 0 = 4

a 21 = 3 . - 1 + 1.2 + 1.0 = - 3 + 2 + 0 = - 1

a 22 = 3.3 + 1.1 + 1.1 = 9 + 1 + 1 = 11

a 23 = 3.2 + 1.3 + 1.1 = 6 + 3 + 1 = 10

a 31 = 2 . - 1 + 3.2 + 1.0 = - 2 + 6 + 0 = 4

a 32 = 2.3 + 3.1 + 1.1 = 6 + 3 + 1 = 10

a 33 = 2.2 + 3.3 + 1.1 = 4 + 9 + 1 = 14

Montando a nossa matriz:

A T . A = 5 - 1 4 - 1 11 10 4 10 14

Passo 3

Agora vamos fazer o cálculo do determinante.

det ⁡ A T . A = 5 - 1 4 5 - 1 - 1 11 10 - 1 11 4 10 14 4 10

A expressão desse determinante vai ser:

det ⁡ A T . A = - 176 - 500 - 14 + 770 - 40 - 40

det ⁡ A T . A = 0

Agora vamos ver se o Teorema 6.4 . 3 se aplica ao problema.

Então, pra início de conversa essa matriz não é m × n pelo fato de que é uma matriz quadrada, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas. Na verdade nem precisaria disso pra saber... quando o cálculo do determinante dá 0, isso implica que os vetores são linearmente dependentes.

Problema resolvido... literalmente, hehe

Resposta

det ⁡ A T . A = 0

Não há vetores coluna linearmente independentes.

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Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 - 2 4 - 5 3
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo y z .
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo x z .