Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 14

Mostre que se w =   ( a ,   b ,   c ) for um vetor não nulo, então a matriz canônica da projeção ortogonal de R 3 na reta g e r { w } é

P = 1 a 2 + b 2 + c 2 a 2 a b a c a b b 2 b c a c b c c 2

Passo 1

Olá, tudo bem?

Essa questão é tranquila, a gente só vai precisar da fórmula da projeção ortogonal, e fazer algumas manipulações. Preparado?

Passo 2

O vetor que a gente tem é w =   ( a ,   b ,   c ) , vamos colocar ele em forma de matriz.

A = a b c  

A T = a b c

Fazendo o produto A T A fica:

A T A = a b c . a b c  

A T A = a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Substituindo na fórmula:

P = A A T A - 1 A T

P = 1 a 2 + b 2 + c 2 .   a b c . a b c

Mas já acabou? Sim, legal né!?

Resposta

P = 1 a 2 + b 2 + c 2 . a 2 a b a c a b b 2 b c a c b c c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo y .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 - 2 4 - 5 3
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo y z .