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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 13a

Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2

  1. No eixo x z .

Passo 1

E aí...

Vamos resolver essa questão, começando por montar a nossa matriz, depois encontrar a sua transposta, logo após fazer o produto da matriz com a transposta, depois jogar na fórmula pra obter a matriz correspondente. Ficou confuso? Rsrsrs...

Relaxa que a gente vai fazer juntinho. S2

Passo 2

Vamos lá! O plano tem duas dimensões: x e z , e uma base que é w , e o w se subdivide em w 1 e w 2 (que são os dois vetores que vão formar a matriz, sendo bidimensional como já disse). w 1 tem as coordenadas ( 1,0 , 0 ) e as de w 2 são ( 0,0 , 1 ) , note que são essas porque estão representando os vetores x e z . Guarda aí essas informações.

w = x z

w = w 1 , w 2

w 1 = 1,0 , 0 ; w 2 0,0 , 1

Então vamos montar a nossa matriz que vamos chamar de A .

A = 1 0 0 0 0 1    

A T = 1 0 0 0 0 1

Agora vamos fazer o produto A T A :

A T A = 1 0 0 0 0 1 . 1 0 0 0 0 1 = a 11 a 12 a 21 a 22

a 11 = 1.1 + 0.0 + 0.0 = 1 + 0 + 0 = 1

a 12 = 1.0 + 0.0 + 0.1 = 0 + 0 + 0 = 0

a 21 = 0.1 + 0.0 + 1.0 = 0 + 0 + 0 = 0

a 22 = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 0 + 0 + 1 = 1

A T A = 1 0 0 1

Passo 3

Agora vamos substituir na Fórmula (10).

P = A A T A - 1 A T

P = 1 0 0 0 0 1 . 1 0 0 1 .   1 0 0 0 0 1

Nem precisa fazer a multiplicar a primeira matriz pela segunda pra saber o resultado. Por quê? Porque a segunda é uma matriz identidade, e quando se faz uma multiplicação de qualquer matriz por uma matriz identidade o resultado é a própria matriz. Então vai ficar:

P = 1 0 0 0 0 1 .   1 0 0 0 0 1 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

a 11 = 1.1 + 0.0 = 1 + 0 = 1

a 12 = 1.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0

a 13 = 1.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0

a 21 = 0.1 + 0.0 = 0 + 0 = 0

a 22 = 0.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0

a 23 = 0.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0

a 31 = 0.1 + 1.0 = 0 + 0 = 0

a 32 = 0.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0

a 33 = 0.0 + 1.1 = 0 + 1 = 1

Resposta

P = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

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Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 - 2 4 - 5 3
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo y z .
Prove a implicação b ⇒ a do Teorema 6.4 . 3 .