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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 13b

Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2

  1. No eixo y z .

Passo 1

Oieee...

Vamos resolver essa questão, começando por montar a nossa matriz, depois encontrar a sua transposta, logo após fazer o produto da matriz com a transposta, depois jogar na fórmula pra obter a matriz correspondente. Ficou confuso? Rsrsrs...

Calminha... vamos fazer passo a passo.

Passo 2

Vamos lá! O plano tem duas dimensões: y e z , e uma base que é w , e o w se subdivide em w 1 e w 2 (que são os dois vetores que vão formar a matriz, sendo bidimensional como já disse). w 1 tem as coordenadas ( 0,1 , 0 ) e as de w 2 são ( 0,0 , 1 ) , note que são essas porque estão representando os vetores y e z . Vai ficar:

w = y z

w = w 1 , w 2

w 1 = 0,1 , 0 ; w 2 0,0 , 1

Então vamos montar a nossa matriz que vamos chamar de A .

A = 0 0 1 0 0 1    

A T = 0 1 0 0 0 1

Agora vamos fazer o produto A T A :

A T A = 0 1 0 0 0 1 . 0 0 1 0 0 1 = a 11 a 12 a 21 a 22

a 11 = 0.0 + 1.1 + 0.0 = 0 + 1 + 0 = 1

a 12 = 0.0 + 1.0 + 0.1 = 0 + 0 + 0 = 0

a 21 = 0.0 + 0.1 + 1.0 = 0 + 0 + 0 = 0

a 22 = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 0 + 0 + 1 = 1

A T A = 1 0 0 1

Passo 3

Agora vamos substituir na Fórmula (10).

P = A A T A - 1 A T

P = 0 0 1 0 0 1 . 1 0 0 1 .   0 1 0 0 0 1

Nem precisa fazer a multiplicar a primeira matriz pela segunda pra saber o resultado. Por quê? Porque a segunda é uma matriz identidade, e quando se faz uma multiplicação de qualquer matriz por uma matriz identidade o resultado é a própria matriz. Então vai ficar:

P = 0 0 1 0 0 1 . 0 1 0 0 0 1 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

a 11 = 0.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0

a 12 = 0.1 + 0.0 = 0 + 0 = 0

a 13 = 0.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0

a 21 = 1.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0

a 22 = 1.1 + 0.0 = 1 + 0 = 1

a 23 = 1.0 + 0.1 = 0 + 0 = 0

a 31 = 0.0 + 1.0 = 0 + 0 = 0

a 32 = 0.1 + 1.0 = 0 + 0 = 0

a 33 = 0.0 + 1.1 = 0 + 1 = 1

Resposta

P = 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Ver Outros Exercícios desse livro

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Mostre que se w =( a ,b ,c ) for um vetor não nulo, então a matriz canônica da projeção ortogonal de R 3 na reta g e r { w } é P = 1 a 2 + b 2 + c 2 a 2 a b a c a b b 2 b c a c b c c 2
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo y .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
9. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 4 gerado pelos vetores v → 1 , v → 2 e v → 3 .(a) u → = 6,3 , 9,6 ;v → 1 = 2,1 , 1,1 ,v → 2 = 1,0 , 1,1 , v → 3 = - 2 , - 1,0 ,
8. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 3 gerado pelos vetores v → 1 e v → 2 .(a) u → = 2,1 , 3 ;v → 1 = 1,1 , 0 ,v → 2 = 1,2 , 1 (b) u → = 1 , - 6,1 ;v → 1 = - 1,2 ,