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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 11b

Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes.

A = 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 - 2 4 - 5 3

Passo 1

E aí, como é que tá?

O que a gente vai fazer primeiro é encontrar a matriz transposta de A , com esse resultado vamos fazer o produto com A , depois achar o determinante dessa matriz, e por fim aplicar o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes.

Passo 2

O nosso produto vai ficar assim:

A T . A = 2 0 - 1 4 - 1 1 0 - 5 3 1 - 2 3 . 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 - 2 4 - 5 3 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

a 11 = 2.2 + 0.0 + - 1 . - 1 + 4.4 = 4 + 0 + 1 + 15 = 21

a 12 = 2 . - 1 + 0.1 + - 1 . 0 + 4 . - 5 = - 2 + 0 + 0 - 20 = - 22

a 13 = 2.3 + 0.1 + - 1 . - 2 + 4.3 = 6 + 0 + 2 + 12 = 20

a 21 = - 1.2 + 1.0 + 0 . - 1 + - 5 . 4 = - 2 + 0 + 0 - 20 = - 22

a 22 = - 1 . - 1 + 1.1 + 0.0 + - 5 . - 5 = 1 + 1 + 0 + 25 = 27

a 23 = - 1 . 3 + 1.1 + 0 . - 2 + - 5 . 3 = - 3 + 1 + 0 - 15 = - 17

a 31 = 3.2 + 1.0 + - 2 . - 1 + 3.4 = 6 + 0 + 2 + 12 = 20

a 32 = 3 . - 1 + 1.1 + - 2 . 0 + 3 . - 5 = - 3 + 1 + 0 - 15 = - 17

a 33 = 3.3 + 1.1 + - 2 . - 2 + 3.3 = 9 + 1 + 4 + 9 = 23

Montando a nossa matriz:

A T . A = 21 - 22 20 - 22 27 - 17 20 - 17 23

Passo 3

Agora vamos fazer o cálculo do determinante.

det ⁡ A T . A = 21 - 22 20 21 - 22 - 22 27 - 17 - 22 27 20 - 17 23 20 - 17

A expressão desse determinante vai ser:

det ⁡ A T . A = - 10800 - 6069 - 11132 + 13041 + 7480 + 7480

det ⁡ A T . A = 0

Agora vamos ver se o Teorema 6.4 . 3 se aplica ao problema.

Então, essa matriz não é m × n pelo fato de que é uma matriz quadrada, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas. Na verdade nem precisaria disso pra saber... quando o cálculo do determinante dá 0, isso implica que os vetores são linearmente dependentes.

Uhuuuu, conseguimos! \o/

Resposta

det ⁡ A T . A = 0

Não há vetores coluna linearmente independentes.

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Prove a implicação (b) = (a) do Teorema 6.4 . 3 .
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10. Encontre a projeção ortogonal de u → = 5,6 , 7,2 no espaço solução do sistema linear homogêneo x 1 + x 2 + x 3 = 0 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0