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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 8

8. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 3 gerado pelos vetores v → 1 e v → 2 .

(a) u → = 2,1 , 3 ;   v → 1 = 1,1 , 0 ,   v → 2 = 1,2 , 1

(b) u → = 1 , - 6,1 ;   v → 1 = - 1,2 , 1 ,   v → 2 = 2,2 , 4

Passo 1

(a) o subespaço gerado pelos vetores:

A = 1 1 1 2 0 1

Fazendo:

A T A = 1 1 0 1 2 1 1 1 1 2 0 1

A T A = 2 3 3 6

Agora achando a inversa:

A T A - 1 = 2 - 1 - 1 2 3

Passo 2

Botando na formula lá:

p r o j W u = A A T A - 1 A T u

p r o j W u = 1 1 1 2 0 1 2 - 1 - 1 2 3 1 1 0 1 2 1 2 1 3

p r o j W u = 2 3 7 3 5 3

Passo 3

(b) o subespaço gerado pelos vetores:

A = - 1 2 2 2 1 4

Fazendo:

A T A = - 1 2 1 2 2 4 - 1 2 2 2 1 4

A T A = 6 6 6 24

Agora achando a inversa:

A T A - 1 = 2 9 - 1 18 - 1 18 1 18

Passo 4

Botando na formula lá:

p r o j W u = A A T A - 1 A T u

p r o j W u = - 1 2 2 2 1 4 2 9 - 1 18 - 1 18 1 18 - 1 2 1 2 2 4 1 - 6 1

p r o j W u = 3 - 4 - 1

Resposta

(a) p r o j W u = 2 3 7 3 5 3

(b)

p r o j W u = 3 - 4 - 1

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