Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 7 c

7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.

(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b → = 3 2 1

(b) A = 1 3 - 2 - 6 3 9 ; b → = 1 0 1

(c) A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1 ; b → = 7 0 - 7

Passo 1

(a) O sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

Fazendo A T A :

A T A = - 1 2 0 3 1 1 2 3 1 - 1 3 2 2 1 3 0 1 1

A T A = 5 - 1 4 - 1 11 10 4 10 14

Agora fazendo A T b → :

A T b → = - 1 2 0 3 1 1 2 3 1 7 0 - 7

A T b → = - 7 14 7

O sistema normal:

5 - 1 4 - 1 11 10 4 10 14 x 1 x 2 x 3 = - 7 14 7

Passo 2

Vamos escalonar:

5 5 - 1 5 4 5 - 1 11 10 4 10 14 x 1 x 2 x 3 = - 7 5 14 7

1 - 1 5 4 5 - 1 11 10 4 10 14 x 1 x 2 x 3 = - 7 5 14 7

Fazendo (linha 2)=(linha 2)+(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)-4(linha 1)

1 - 1 5 4 5 - 1 + 1 11 + - 1 5 10 + 4 5 4 - 4 10 - 4 - 1 5 14 - 4 4 5 x 1 x 2 x 3 = - 7 5 14 + - 7 5 7 - 4 - 7 5

1 - 1 5 4 5 0 54 5 54 5 0 54 5 54 5 x 1 x 2 x 3 = - 7 5 63 5 63 5

1 - 1 5 4 5 0 54 5 54 5 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = - 7 5 63 5 0

Escrevendo o sistema e resolvendo:

x 1 - 1 5 x 2 + 4 5 x 3 = - 7 5 x 2 + x 3 = 7 6 0 x 3 = 0

x 3 = t

x 2 + t = 7 6

x 2 = 7 6 - t

x 1 - 1 5 7 6 - t + 4 5 t = - 7 5

x 1 = - 7 6 - t

Então a solução é:

x = - 7 6 7 6 0 + t - 1 - 1 1

Passo 3

Achando o erro:

e → = b → - A x →

e → = 7 0 - 7 - - 1 3 2 2 1 3 0 1 1 - 7 6 7 6 0 + t - 1 - 1 1

e → = e → = 7 0 - 7 - 14 3 - 7 6 7 6 + t 0 0 0

e → = 7 3 7 6 - 49 6

Resposta

x = - 7 6 7 6 0 + t - 1 - 1 1

e → = 7 3 7 6 - 49 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que as colunas da matriz M de tamanho n × m + 1 na Equação ( 10 ) são linearmente independentes se nm e pelo menos m + 1 dos números x 1 ,x 2 ,⋯ ,x n são distintos. [Sugestão: um polinômio não
A Agência Espacial dos Estados Unidos utilizou uma espaçonave experimental leve pilotada remotamente e movida a energia solar, denominada Pathfinder, numa série de experimentos para determinar a viabi
Mostre que a matriz M na Equação 2 tem colunas linearmente independentes se, e só se, pleo menos dois dos números x 1 , x 2 ⋯ x n são distindos.
Encontre o polinômio quadrático de melhor ajuste aos quatro pontos 2 ,0 , 3 ,- 10 , 5 ,- 48 e 6 ,- 76 .
Encontre a curva da forma y = a + ( b / x ) que melhor ajuste os pontos ( 1 ,7 )( 3 ,3 )e( 6 ,1 ) fazendo a substituição X = 1 / x . Esboce a curva e marque os pontos de dados no mesmo sistema de coor