Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 9

9. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 4 gerado pelos vetores v → 1 , v → 2 e v → 3 .

(a) u → = 6,3 , 9,6 ;   v → 1 = 2,1 , 1,1 ,   v → 2 = 1,0 , 1,1 , v → 3 = - 2 , - 1,0 , - 1

(b) u → = - 2,0 , 2,4 ;   v → 1 = 1,1 , 3,0 ,   v → 2 = - 2 , - 1 , - 2,1 , v → 3 = - 3 , - 1,1 , 3

Passo 1

(a) o subespaço gerado pelos vetores:

A = 2 1 - 2 1 0 - 1 1 1 0 1 1 - 1

Fazendo:

A T A = 2 1 1 1 1 0 1 1 - 2 - 1 0 1 2 1 - 2 1 0 - 1 1 1 0 1 1 - 1

A T A = 7 4 - 6 4 3 - 3 - 6 - 3 6

Agora achando a inversa:

A T A - 1 = 3 - 2 2 - 2 2 - 1 2 - 1 5 3

Passo 2

Botando na formula lá:

p r o j W u = A A T A - 1 A T u

p r o j W u = 2 1 - 2 1 0 - 1 1 1 0 1 1 - 1 3 - 2 2 - 2 2 - 1 2 - 1 5 3 2 1 1 1 1 0 1 1 - 2 - 1 0 1 6 3 9 6

p r o j W u = 7 2 9 5

Passo 3

(b) o subespaço gerado pelos vetores:

A = 1 - 2 - 3 1 - 1 - 1 3 - 2 1 0 1 3

Fazendo:

A T A = 1 1 3 0 - 2 - 1 - 2 1 - 3 - 1 1 3 1 - 2 - 3 1 - 1 - 1 3 - 2 1 0 1 3

A T A = 11 - 9 - 1 - 9 10 8 - 1 8 20

Agora achando a inversa:

A T A - 1 = 68 5 86 5 - 31 5 86 5 219 10 - 79 10 - 31 5 - 79 10 29 10

Passo 4

Botando na formula lá:

p r o j W u = A A T A - 1 A T u

p r o j W u = 1 - 2 - 3 1 - 1 - 1 3 - 2 1 0 1 3 68 5 86 5 - 31 5 86 5 219 10 - 79 10 - 31 5 - 79 10 29 10 1 1 3 0 - 2 - 1 - 2 1 - 3 - 1 1 3 - 2 0 2 4

p r o j W u = - 12 5 - 4 5 12 5 16 5

Resposta

(a) p r o j W u = 7 2 9 5

(b)

p r o j W u = - 12 5 - 4 5 12 5 16 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo y z .
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo x z .
Prove a implicação b ⇒ a do Teorema 6.4 . 3 .
Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b