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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 15

Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .

  1. Encontre uma base de W .
  2. Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .
  3. Use a matriz obtida na parte b para encontrar a projeção ortogonal de um ponto P 0 x 0 , y 0 , z 0 em W .
  4. Encontre a distância entre o ponto P 0 1 , - 2,4 e o plano W e confira seu resultado usando o Teorema 3.3 . 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o item “a” temos que encontrar uma base de W .

Vamos considerar que:

x = k 1

y = k 2

Portanto, temos que:

z = - 5 k 1 + 3 k 2

Colocando na forma matricial, temos que:

x y z = k 1 k 2 - 5 k 1 + 3 k 2

Ou:

x y z = k 1 1 0 - 5 + k 2 0 1 3

Portanto, podemos dizer que a base é dada por:

1,0 , - 5 , 0,1 , 3

Passo 2

Para o item “b”, temos que encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W . Vamos considerar uma matriz A formada a partir de qualquer base para W :

A = 1 0 - 5       0 1 3

A matriz padrão para a projeção ortogonal é dada por:

P = A A T A - 1 A T

Temos que:

A T A = 1 0       0 1       - 5 3 1 0 - 5       0 1 3

A T A = 1 + 0 + 25 0 + 0 - 15       0 + 0 - 15 0 + 1 + 9

A T A = 26 - 15     - 15 10  

A sua inversa é dada por:

A T A - 1 = 1 260 - 225 10 15     15 26  

A T A - 1 = 1 35 10 15     15 26  

Multiplicando pela matriz A , temos que:

A A T A - 1 = 1 35 1 0 - 5       0 1 3 10 15     15 26  

A A T A - 1 = 1 35 10 + 0 0 + 15 - 50 + 45       15 + 0 0 + 26 - 75 + 78

A A T A - 1 = 1 35 10 15 - 5       15 26 3

Portanto, a projeção é dada por:

P = A A T A - 1 A T = 1 35 10 15 - 5       15 26 3 1 0       0 1       - 5 3

P = 1 35 10 + 0 15 + 0 - 5 + 0       0 + 15 0 + 26 0 + 3       - 50 + 45 - 75 + 78 25 + 9

P = 1 35 10 15 - 5         15 26 3       - 5 3 34

Passo 3

Para o item “c”, vamos aplicar a matriz de projeção do item “b” para encontrar a projeção ortogonal de um ponto P 0 x 0 , y 0 , z 0 em W :

P P 0 = 1 35 10 15 - 5         15 26 3       - 5 3 34 x 0 y 0 z 0

P P 0 = 1 35 10 15 - 5         15 26 3       - 5 3 34 x 0 y 0 z 0

Resolvendo, temos que:

P P 0 = 2 x 0 + 3 y 0 - z 0 7     15 x 0 + 26 y 0 + 3 z 0 35     - 5 x 0 + 3 y 0 + 34 z 0 35

Passo 4

Para o item “d”, temos que encontrar a distância entre o ponto P 0 1 , - 2,4 e o plano W :

A distância entre o ponto P 0 e a projeção aplicada ao ponto P 0 é dada por:

P 0 - P P 0 = 1 , - 2,4 - 2 1 + 3 - 2 - 4 7     15 1 + 26 - 2 + 3 4 35     - 5 1 + 3 - 2 + 34 4 35

P 0 - P P 0 = 1 , - 2,4 - - 8 7     - 5 7     25 7

P 0 - P P 0 = - 15 7     - 9 7     3 7

P 0 - P P 0 = 3 7 35

Agora vamos comparar com o teorema da distância entre o ponto e o plano:

D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Aplicando ao plano 5 x - 3 y + z = 0 e ao ponto P 0 1 ,   - 2 ,   4 , temos que:

D = 5 1 - 3 - 2 + 1 4 + 0 5 2 + - 3 2 + 1 2

D = 15 35

Ou:

D = 15 35 35

D = 3 7 35

Resposta

  1. 1,0 , - 5 , 0,1 , 3
  2. P = 1 35 10 15 - 5         15 26 3       - 5 3 34
  3. P P 0 = 2 x 0 + 3 y 0 - z 0 7     15 x 0 + 26 y 0 + 3 z 0 35     - 5 x 0 + 3 y 0 + 34 z 0 35
  4. P 0 - P P 0 = D = 3 7 35
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Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
10. Encontre a projeção ortogonal de u → = 5,6 , 7,2 no espaço solução do sistema linear homogêneo x 1 + x 2 + x 3 = 0 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0
9. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 4 gerado pelos vetores v → 1 , v → 2 e v → 3 .(a) u → = 6,3 , 9,6 ;v → 1 = 2,1 , 1,1 ,v → 2 = 1,0 , 1,1 , v → 3 = - 2 , - 1,0 ,
8. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 3 gerado pelos vetores v → 1 e v → 2 .(a) u → = 2,1 , 3 ;v → 1 = 1,1 , 0 ,v → 2 = 1,2 , 1 (b) u → = 1 , - 6,1 ;v → 1 = - 1,2 ,