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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 11

Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto interno euclidiano.

  1. u = 3,2 ,     v = 4 , - 1
  2. u = - 3,1 , 0 ,     v = 2 , - 1,3
  3. u = - 4,2 , 1 ,     v = 8 , - 4 , - 2
  4. u = 0 , - 2,2 ,   1 ,     v = - 1 , - 1,1 , 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sabemos que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é definida por:

u , v ≤ u v

Então para cada item teremos que calcular o produto interno entre os vetores e a norma de cada vetor para verificar se a desigualdade é respeitada.

Para o item “a”, temos que:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2

u , v = 3 4 + 2 - 1

u , v = 10

Temos que:

u = u 1 2 + u 2 2

u = 3 2 + 2 2

u = 13

E:

v = v 1 2 + v 2 2

v = 4 2 + - 1 2

v = 17

Portanto, avaliando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que:

u , v ≤ u v

10 ≤ 13 17

10 ≤ 221

Esta notação é verdadeira, portando a desigualdade está verificada.

Passo 2

Para o item “b”, temos que:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

u , v = - 3 2 + 1 - 1 + 0 3

u , v = - 7

Temos que:

u = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

u = - 3 2 + 1 2 + 0 2

u = 1 0

E:

v = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

v = 2 2 + - 1 2 + 3 2

v = 1 4

Portanto, avaliando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que:

u , v ≤ u v

- 7 ≤ 1 0 1 4

- 7 ≤ 140

Esta notação é verdadeira, portando a desigualdade está verificada.

Passo 3

Para o item “c”, temos que:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

u , v = - 4 8 + 2 - 4 + 1 - 2

u , v = - 42

Temos que:

u = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

u = - 4 2 + 2 2 + 1 2

u = 21

E:

v = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

v = 8 2 + - 4 2 + - 2 2

v = 8 4

Portanto, avaliando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que:

u , v ≤ u v

- 42 ≤ 21 84

- 42 ≤ 1764

Esta notação é verdadeira, portando a desigualdade está verificada.

Passo 4

Para o item “d”, temos que:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 4 v 4

u , v = 0 - 1 + - 2 - 1 + 2 1 + 1 1

u , v = 5

Temos que:

u = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 + u 4 2

u = 0 2 + - 2 2 + 2 2 + 1 2

u = 9 = 3

E:

v = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + v 4 2

v = - 1 2 + - 1 2 + 1 2 + 1 2

v = 4 = 2

Portanto, avaliando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que:

u , v ≤ u v

5 ≤ 3 2

5 ≤ 6

Esta notação é verdadeira, portando a desigualdade está verificada.

Resposta

  1. 10 ≤ 221
  2. - 7 ≤ 140
  3. - 42 ≤ 1764
  4. 5 ≤ 6
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