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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 15

15. (a) Seja W o plano em R 3 de equação x - 2 y - 3 z = 0 . Obtenha equações paramétricas de W ⊥ .

(b) Seja W a reta em R 3 de equações paramétricas

x = 2 t ;         y = - 5 t ;                 z = 4 t

Obtenha uma equação de W ⊥ .

(c) Seja W a interseção dos dois planos

x + y + z = 0   e   x - y + z = 0

Em R 3 . Obtenha uma equação de W ⊥ .

Passo 1

(a) Vou dar um spoiler... W ⊥ = 1 , - 2 , - 3 ...

Mas vamos resolver direitinho...

Se a gente isolar x:

x = 2 y + 3 z

Então ficamos com o vetor 2 y + 3 z ,   y , z ...

Se separarmos o que tem y do que tem z (o nome disso é combinação linear e tals)..

2 y + 3 z ,   y , z = 2 y , y , 0 + 3 z , 0 , z

2 y + 3 z ,   y , z = y 2,1 , 0 + z 3,0 , 1

Agora pegamos outros vetor ( x ' , y ' , z ' ) e pra ele ser ortogonal, o produto interno com as duas bases que achamos tem que ser zero...

x ' , y ' , z ' ⋅ 2,1 , 0 = 0

2 x ' + y ' = 0

x ' , y ' , z ' ⋅ 3,0 , 1 = 0

3 x ' + z ' = 0

Resolvendo o sisteminha:

y ' = - 2 x '

z ' = - 3 x '

Ficamos com o vetor x ' , y ' , z ' = x ' , - 2 x ' , - 3 x ' = x ' 1 , - 2 , - 3 ... Então o complemento ortogonal:

W ⊥ = 1 , - 2 , - 3

Pasmem, mas é o mesmo que eu disse lá em cima.... A dica é que o complemento ortgonal vai ter os mesmos coeficientes da equação.. reparem...

E pra obter as equações paramétricas é só multiplicar por t..

x = t

y = - 2 t

z = - 3 t

Passo 2

(b) o nosso vetor, então é:

x , y , z = 2 t , - 5 t , 4 t

x , y , z = t 2 , - 5,4

Agora pegamos o vetor x ' , y ' , z ' e fazemos o produto interno com a base de ( x , y , z ) (que é 2 , - 5,4 ) ser zero.

2 , - 5,4 ⋅ x ' , y ' , z ' = 0

2 x ' - 5 y ' + 4 z ' = 0

E essa é nossa resposta, só vamos tirar os ‘ pra resposta ficar mais bonitinha:

2 x - 5 y + 4 z = 0

W ⊥ = ( 2 , - 5,4 )

Passo 3

(c) Pra achar a interseção dos dois planos é só igualar as duas equações:

x + y + z =   x - y + z

2 y = 0

y = 0

Então a equação da interseção fica:

x + z = 0

Agora pegamos o vetor x ' , y ' , z ' e fazemos o produto interno com a base de ( x , y , z ) (que é 1,0 , 1 ) ser zero.

x ' , y ' , z ' ⋅ 1,0 , 1 = 0

x ' + z ' = 0

Tirando os ‘:

x + z = 0

W ⊥ = ( 1,0 , 1 )

Resposta

(a) x = t

y = - 2 t

z = - 3 t

(b) W ⊥ = ( 2 , - 5,4 )

(c)

W ⊥ = ( 1,0 , 1 )

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