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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 2

Para todo ponto P =(m,n) na hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , mostre que a reta r :   m x a 2 - n y b 2 = 1 tem apenas um ponto P em comum com H. A reta r chama-se a tangente de H no ponto P

Passo 1

Falaaa, blz?? Então a ideia aqui é resolver o sistema de 2 equações (da hipérbole e da reta)

Vamos primeiro isolar x na equação da reta:

x = 1 + n y b 2 a 2 m

Da equação da hipérbole:

x 2 = 1 + y 2 b 2 a 2

Elevando a primeira equação ao quadrado e substituindo na segunda:

Passo 2

1 + n y b 2 a 2 m 2 = 1 + y 2 b 2 a 2

1 + n 2 y 2 b 4 + 2 n y b 2 a 4 m 2 =   1 + y 2 b 2 a 2

1 + n 2 y 2 b 4 + 2 n y b 2 a 2 m 2 =   1 + y 2 b 2

1 + n 2 y 2 b 4 + 2 n y b 2 a 2 = m 2 + y 2 m 2 b 2

y 2 m 2 b 2 - n 2 a 2 b 4 - y 2 n a 2 b 2 + m 2 - a 2 = 0

Calculando o delta:

∆   = 2 n a 2 b 2 2 - 4 m 2 b 2 - n 2 a 2 b 4 m 2 - a 2

∆   = 4 n 2 a 4 b 4 - 4 b 2 m 2 - n 2 a 2 b 4 m 2 - a 2

∆   = 4 b 4 ( n 2 a 4 - ( b 2 m 2 - n 2 a 2 ) ( m 2 - a 2 ) )  

∆   = 4 b 4 n 2 a 4 - b 2 m 4 + b 2 a 2 m 2 + m 2 n 2 a 2 + n 2 a 4

∆   = 4 b 4 b 2 a 2 m 2 - m 2 b 2 m 2 - n 2 a 2

Como P pertence à hipérbole:

m 2 b 2 - n 2 a 2 = a 2 b 2 ,   s u b s t i t u i n d o :

Passo 3

∆   = 4 b 4 b 2 a 2 m 2 - m 2 a 2 b 2 = 0

Logo, para o valor de x que achamos no começo, temos apenas 1 valor de y associado, assim, provando o que é pedido

Resposta

Demonstração

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Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices em ( 5 , - 2 ) e ( 3 , - 2 ) , um foco em ( 7 , - 2 ) .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices em ( 5,5 ) e ( 5 , - 1 ) , excentricidade e = 2 .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( 2 , - 3 ) , eixo real paralelo a 0 y , passando por ( 3 , - 1 ) e ( - 1,0 ) .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( - 2 , 1 ) , eixo real paralelo a 0 x , passando por ( 0 , 2 ) e ( - 5,6 ) .
Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações: x 2 - y 2 - 8 x - 4 y + 11 = 0