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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 19

Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:

Centro C ( - 3 ,   4 ) , semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos y .

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação é na forma x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro.

A coordenada que muda entre o centro C e o foco F é a coordenada x , portanto, é uma elipse com eixo maior paralela ao eixo x . Logo, o parâmetro a 2 será denominador de x - x c 2

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los resolvendo as equações e depois jogar na equação da elipse.

Passo 2

Vamos começar determinando x c ,   y c .

Como o centro é dado por C ( - 3 ,   4 ) , logo x c ,   y c = ( - 3 ,   4 )

Passo 3

Como os semi-eixos têm os comprimentos a = 4 e b = 3 , temos que

a 2 = 4 2 = 16

b 2 = 3 2 = 9

Passo 4

Vamos agora jogar esses dados na equação x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1

x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1

x - ( - 3 ) 2 9 + y - 4 2 16 = 1

x + 3 2 9 + y - 4 2 16 = 1

Passo 5

Achamos a equação x + 3 2 9 + y - 4 2 16 = 1 . Agora, vamos resolver de forma que eliminemos os denominadores.

Vamos começar multiplicando a equação pelo produto 16 ∙ 9

  x + 3 2 9 + y - 4 2 16 × ( 16 ∙ 9 ) = 1 × ( 16 ∙ 9 )

16 x + 3 2 + 9 y - 4 2 = 144

16 x 2 + 6 x + 9 + 9 y 2 - 8 y + 16 = 144

16 x 2 + 96 x + 144 + 9 y 2 - 72 y + 144 - 144 = 0

16 x 2 + 9 y 2 + 96 x - 72 y + 144 + 144 - 144 = 0

16 x 2 + 9 y 2 + 96 x - 72 y + 144 = 0

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

16 x 2 + 9 y 2 + 96 x - 72 y + 144 = 0

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