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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 6l

Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.

  1. 4 x 2 + 169 y 2 = 676
  2. x 2 + 2 y 2 / 3 = 8
  3. x 2 / 4 + y 2 / 2 = 0
  4. 8 x 2 + 3 y 2 = 24
  5. 3 x 5 2 + y 2 = 9
  6. x 2 - 4 y 2 = 1
  7. 5 x 2 + 9 y 2 = 45
  8. 3 x 2 + 5 y 2 = 15
  9. 4 x 2 + 9 y 2 + 1 = 0
  10. 16 x 2 - 4 + 4 y 2 = 0
  1. 1 + m 2 x 2 + y 2 = 1 + 2 m 2 + m 4
  2. x 2 + m 2 y 2 = m

Passo 1

Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Se os valores p e q forem maiores do que zero, então, temos uma elipse.

Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma elipse. Caso contrário, não temos uma elipse.

Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,

1 + m 2 x 2 + y 2 = 1 + 2 m 2 + m 4

1 + m 2 x 2 + y 2 = 1 + m 2 2

1 + m 2 x 2 + y 2 1 + m 2 2 = 1 + m 2 2 1 + m 2 2

x 2 1 + m 2 + y 2 1 + m 2 2 = 1

Pronto, como p = 1 + m 2 > 0 e q = 1 + m 2 2 > 0 , temos sim uma elipse (assumindo que m ≠ 0 )! Em especial, como q > p , os focos estão localizados no eixo O y .

Passo 2

Agora, iremos determinar os outros parâmetros pedidos pela questão. Mas, antes disto, vamos determinar os parâmetros geométricos da elipse.

Logo,

a = q = 1 + m 2 2 = 1 + m 2

b = p = 1 + m 2

c = a 2 - b 2 = 1 + m 2 2 - 1 - m 2 = m 4 + m 2 = m m 2 + 1

Agora sim podemos calcular o que a questão nos pede.

A distância focal tem comprimento 2 c . Portanto, 2 m m 2 + 1 .

O eixo maior tem comprimento 2 a . Portanto, 2 + 2 m 2 . Já o eixo menor tem comprimento 2 b . Logo, 2 1 + m 2 .

Resposta

Os focos estão no eixo O y .

A distância focal tem comprimento 2 m m 2 + 1 . O eixo maior tem comprimento 2 + 2 m 2 e o eixo menor tem comprimento 2 1 + m 2 .

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