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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 3a

São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma elipse. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto x , y da elipse deva satisfazer.

  1. a = 4 F 1 = - 3,2 F 2 = - 3,6
  2. a = 3 F 1 = - 1 , - 1 F 2 = 1,1
  3. a = 3 F 1 = 0,0 F 2 = 1,1

Passo 1

Para resolvermos esta questão vamos ter de repetir todo o procedimento realizado na obtenção de uma equação da elipse.

Portanto, seja um ponto X = x , y . Ele pertence a elipse se, e somente se,

d X , F 1 +   d X , F 2 = 2 a

Agora, temos que substituir pelas expressões e começar o cálculo. Portanto,

x - - 3 2 + y - 2 2 + x - - 3 2 + y - 6 2 = 8

x + 3 2 + y - 2 2 + x + 3 2 + y - 6 2 = 8

Passo 2

Com a equação pronta, podemos partir para o desenvolvimento da equação.

Agora, vamos isolar uma raiz e elevar ambos os membros ao quadrado. Portanto,

x + 3 2 + y - 6 2 = 8 - x + 3 2 + y - 2 2

x + 3 2 + y - 6 2 2 = 8 - x + 3 2 + y - 2 2 2

x + 3 2 + y - 6 2 = 64 - 16 x + 3 2 + y - 2 2 + x + 3 2 + y - 2 2

y - 6 2 = 64 - 16 x + 3 2 + y - 2 2 + y - 2 2

y 2 - 12 y + 36 = 64 - 16 x + 3 2 + y - 2 2 + y 2 - 4 y + 4

- 12 y + 36 = 68 - 16 x + 3 2 + y - 2 2 - 4 y

Novamente, isolamos uma raiz e elevamos ao quadrado. Logo,

16 x + 3 2 + y - 2 2 = 8 y + 32

16 x + 3 2 + y - 2 2 2 = 8 y + 32 2

256 x + 3 2 + y - 2 2 = 64 y 2 + 512 y + 1024

256 x 2 + 6 x + 9 + y 2 - 4 y + 4 = 64 y 2 + 512 y + 1024

256 x 2 + 256 y 2 + 1536 x - 1024 y + 3328 = 64 y 2 + 512 y + 1024

256 x 2 + 192 y 2 + 1536 x - 1536 y + 2304 = 0

4 x 2 + 3 y 2 + 24 x - 24 y + 36 = 0

E assim chegamos à resposta da nossa questão!

Resposta

4 x 2 + 3 y 2 + 24 x - 24 y + 36 = 0

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