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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 5

Sejam A e B pontos distintos e p um número real maior que a distância entre eles. Prove que, dentre os triângulos de base AB e perímetro p , os de maior área são isósceles.

Passo 1

Esta é uma questão bem interessante! Para provarmos essa relação de área, vamos começar a associar os dados da questão com uma elipse, o que facilitará a nossa análise bastante.

Portanto, vamos começar dizendo que a distância entre os dois pontos será chamada 2 c (começam a perceber já?). Logo,

d A , B = 2 c

Também sabemos que o perímetro p > d A , B . Vamos sair de uma inequação para uma equação então. Para isto, basta adicionar um termo. Logo,

p = 2 c + 2 a

p - 2 c = 2 a

Estamos quase chegando na definição de uma elipse, só precisa de mais um detalhe: o que é um perímetro? Perímetro nada mais é do que a soma dos lados do triângulo. Em outra forma, é a soma da distância entre os vértices. Logo, dado um triângulo A B C , temos:

p = d A , B + d C , A + d C , B

p = 2 c + d C , A + d C , B

p - 2 c = d C , A + d C , B

Mas como nós chegamos a esta relação um pouco antes, temos:

d C , A + d C , B = 2 a

E chegamos definição de uma elipse de focos A e B . Um ponto C = x , y pertence a elipse se, e somente se, ele satisfaz a relação acima.

Passo 2

Agora, que conseguimos chegar a nossa elipse, vamos utilizar um sistema de coordenadas ortogonal em que os focos da elipse estão no eixo de coordenadas x .

Portanto, temos os pontos A = - c , 0 e B = c , 0 . Este passo é importante para podermos descrever facilmente a altura do triângulo. Ele será um segmento perpendicular ao eixo O x , ou, simplesmente, a distância do ponto ao eixo. Logo,

d C , O x = y

Sim, no final é somente o módulo da coordenada y . Colocamos em módulo, pois pode assumir valores negativos. Fica fácil visualizar que tem comprimento y ao configurarmos a elipse desta forma.

Agora sim já podemos calcular a área do nosso triângulo. Ele será:

A = B a s e ⋅ A l t u r a 2 = d A , B ⋅ d C , O x 2

A = 2 c ⋅ y 2 = c y

Como c é uma constante, a área só depende de y . Para maximizarmos, temos que aumentar ao máximo esta variável. Isto só ocorrerá sob o eixo menor, em que y = b = a 2 - c 2

Se colocamos o ponto C sob o eixo menor, automaticamente, obtemos um triângulo isósceles. Assim, provamos a relação

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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