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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 20

Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:

Vértices A 1 ( - 1 ,   2 ) , A 2 ( - 7 ,   2 ) e a medida do eixo menor igual a 2 .

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação é na forma x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro.

  • A medida do eixo maior é dada pelo módulo do vetor A 1 A 2 →

  • As coordenadas ( x c ,   y c ) é o ponto médio do eixo maior.

A coordenada que muda entre os vértice é a coordenada x , portanto, é uma elipse com eixo maior paralela ao eixo x . Logo, o parâmetro a 2 será denominador de x - x c 2 .

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los resolvendo as equações e depois jogar na equação da elipse.

Passo 2

Vamos começar determinando a medida do eixo maior.

2 a = A 1 A 2 →

2 a = - 7 ,   2 - - 1 ,   2

2 a = ( - 6,0 )

2 a = 6

a = 3

Passo 3

Para determinar o centro, vamos tomar o ponto A 1 ( - 1 ,   2 ) e somar com vetor ( - 3 ,   0 ) que é metade do vetor A 1 A 2 → .

x c ,   y c = - 1 ,   2 + - 3 ,   0

x c ,   y c = ( - 4 ,   2 )

Passo 4

Vamos agora jogar esses dados na equação x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

x - ( - 4 ) 2 6 2 + y - 2 2 2 2 = 1

x + 4 2 36 + y - 2 2 4 = 1

Passo 5

Achamos a equação x + 4 2 36 + y - 2 2 4 = 1 . Agora, vamos resolver de forma que eliminemos os denominadores.

Vamos começar multiplicando a equação pelo produto 36 ∙ 4

  x + 4 2 36 + y - 2 2 4 × ( 36 ∙ 4 ) = 1 × ( 36 ∙ 4 )

4 x + 4 2 + 36 y - 2 2 = 144

4 x 2 + 8 x + 16 + 36 y 2 - 4 y + 4 = 144

4 x 2 + 32 x + 64 + 36 y 2 - 144 y + 144 - 144 = 0

4 x 2 + 36 y 2 + 32 x - 144 y + 64 = 0

1 4 × 4 x 2 + 36 y 2 + 32 x - 144 y + 64 = 0

x 2 + 9 y 2 + 8 x - 36 y + 16 = 0

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

x 2 + 9 y 2 + 8 x - 36 y + 16 = 0

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Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:Centro C ( - 3 ,4 ) , semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos y .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:Centro C ( - 3 ,4 ) , semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:Vértices A 1 ( 1 ,- 4 ) e A 2 ( 1 ,8 ) , excentricidade e = 2 3
Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico 16 x 2 + 9 y 2 - 96 x + 72 y + 144 = 0
Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico x - 2 2 16 + y + 3 2 9 = 1