Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

x - 2 2 16 + y + 3 2 9 = 1

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação é na forma x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro.
  • O semi-eixo menor é dado a 2 = b 2 + c 2           →           c 2 = a 2 - b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a . Logo, o fator c é dado por c = e ∙ a
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = ( x c + a ,   y c )
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

Como o maior denominador está dividindo a variável x , então o maior eixo da elipse é paralelo ao eixo x .

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação x - 2 2 16 + y + 3 2 9 = 1 , temos que, se x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

x c ,   y c = ( 2 ,   - 3 )

a 2 = 16         ∴           a = 4

b 2 = 9           ∴             b = 3

Passo 3

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 - b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 - b 2

c 2 = 16 - 9

c = 7

Passo 4

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 7 4

Passo 5

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c - a ,   y c )

A 1 = ( 2 - 4 ,   - 3 )

A 1 = ( - 2 ,   - 3 )

Assim,

A 2 = ( x c + a ,   y c )

A 2 = ( 2 + 4 ,   - 3 )

A 2 ( 6 ,   - 3 )

Passo 6

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 1 = ( x c - c ,   y c )

F 1 = ( 2 - 7 ,   - 3 )

Assim,

F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 2 = ( 2 + 7 ,   - 3 )

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando apenas a equação da elipse x - 2 2 16 + y + 3 2 9 = 1 .

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

C 2 ,   - 3 ,   A 1 - 2 ,   - 3 ,   A 2 6 ,   - 3 ,   F 1 2 - 7 ,   - 3 ,   F 2 2 + 7 ,   - 3 e e = 7 4

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