Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 57
Prove que, se é uma tangente a elipse , então todos os seus pontos, exceto o ponto de tangência, são exteriores a .
Passo 1
Essa é daquelas questões que são bem fáceis de ver até, mas provar matematicamente é meio chato mesmo. Vamos assumir que temos um ponto que é o ponto tangente e outro ponto que está nessa reta tangente e que é exterior a elipse, ou seja:
E
Como e
Além de:
A equação vetorial dessa reta será de:
E esse valor de é único, pois somente existe uma reta que tangência a elipse em qualquer outro valor aí teremos uma secante, vamos provar isso no próximo passo.
Passo 2
Dessa forma nós teremos:
Isso nos daria uma equação do segundo grau em relação a , o que nos daria dois valores de só que pela (tal como feita na página 323 )nos teríamos:
Isso nos diz que e essa condição somente pode ser aceita para , pois uma reta secante terá pontos que pertençam a elipse mas não terão os mesmos valores para . Então pela questão vemos que se abrindo a equação que abre esse passo o valor de será:
E essa condição somente se prova se é exterior a elipse pois essa é a base da equação da reta tangente formada pelo ponto de tangência e o ponto externo a elipse.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)