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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 8b

Em cada caso, determine os vértices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da elipse.

  1. E : 16 x 2 + 25 y 2 = 400
  2. E : x 2 + 9 y 2 = 9
  3. E : 50 - y 2 - 2 x 2 = 0
  4. E : 3 x 2 + 4 y 2 - 12 = 0 .

Passo 1

Para podermos determinar os parâmetros como vértices, focos, e os comprimentos de eixo maior e menor, precisamos fazer um primeiro passo: colocar a equação da nossa elipse na sua forma reduzida. Isto é:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

Vamos isolar as variáveis x e y em um dos membros e no outro membro vamos deixar igual a 1. Somente após este passo podemos continuar a questão.

Portanto, temos:

x 2 + 9 y 2 = 9

x 2 + 9 y 2 9 = 9 9

x 2 9 + 9 y 2 9 = 1

x 2 9 + y 2 = 1

Passo 2

Agora que colocamos a elipse na forma reduzida, podemos continuar a análise. Como o maior denominador está com a variável x 9 > 1 , os focos estão no eixo O x e são dados por F = ± c , 0 , sendo c = a 2 - b 2 .

Mas quem são esses a e b ? Inclusive, são eles que definem as coordenadas dos vértices A = ± a , 0 e B = 0 , ± b . E não só isso! O eixo maior tem comprimento 2 a e o eixo menor 2 b !

Eita, tudo depende desses dois parâmetros então! Mas da onde obtemos eles?

Simples, basta olhar os denominadores da nossa elipse na forma de equação reduzida. O maior denominador é a 2 e o menor denominador b 2 ! Portanto,

a 2 = 9 ⟹ a = 3

b 2 = 1 ⟹ b = 1

Portanto,

c = a 2 - b 2 = 9 - 1 = 8 = 2 2

Obs: é importante lembrarmos que os parâmetros geométricos a , b , c são sempre números positivos por definição!

Agora, é só substituirmos nas relações já discutidas. Os vértices são:

A = ± 3,0

B = 0 , ± 1

Os focos são:

F = ± 2 2 , 0

E o eixo maior tem comprimento 2 a = 6 e o eixo menor comprimento 2 b = 2 .

Resposta

Equação reduzida da elipse:

x 2 9 + y 2 = 1

Os vértices são:

A = ± 3,0

B = 0 , ± 1

Os focos são:

F = ± 2 2 , 0

E o eixo maior tem comprimento 2 a = 6 e o eixo menor comprimento 2 b = 2 .

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Ache uma equação da reta que passa pelo ponto 5 , - 3 e é perpendicular à reta cuja equação é 2 x - 5 y = 1
Ache a menor distância do ponto (2 , - 5) à reta 3 x + y = 2 .
Ache uma equação da reta perpendicular à reta que passa pelos pontos - 1 ,5 e 3 ,2 no ponto médio desse segmento da reta.
Os lados de um paralelogramo estão sobre as retas x + 2 y = 10 , 3 x - y = - 20 , x + 2 y = 15 e 3 x - y = - 10 . Ache as equações das diagonais se determinar os vértices do paralelogramo. (Sugestão:
Ache uma equação da circunferência que circunscreve o triângulo cujos lados estão sobre as retas x - 3 y + 2 = 0 , 3 x - 2 y + 6 = 0 e 2 x + y - 3 = 0 .