Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 28
Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices e , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico
Passo 1
Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.
- A equação não está na forma onde são as coordenadas do centro. Portanto, devemos completar quadrados para que ela chegue nesse formato.
- O semi-eixo menor é dado
- A excentricidade é dada por .
- Os vértices são dados pelas equações e
- Os focos são dados por e
Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.
Passo 2
Analisando a equação , vamos transformá-la numa equação no formato:
Para isso, vamos completar quadrados. Pegando vamos agrupar os termos com e com e ver quais quadrados perfeitos eles seriam resultados. Uma vez achados os possíveis quadrados perfeitos, lembrar de subtrair fora do parênteses pelo quadrado do segundo termo de .
Por último, vamos dividir a equação toda por para assim:
Como o maior denominador está dividindo a variável , essa elipse é tem seu maior eixo paralelo ao eixo . Assim, a equação modelo é:
Passo 3
Analisando a equação , temos que, se .
Passo 4
Achando os fatores e , vamos jogar na equação para encontrarmos o fator .
Passo 5
Agora que achamos o fator , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.
Passo 6
Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices e .
Assim,
Passo 7
Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: e
Assim,
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando apenas a equação da elipse .
Pronto, é isso que a questão queria!
Resposta
e