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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 15

Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P .

A = 2 0 - 2 0 3 0 0 0 3  

Passo 1

Primeiro vamos calcular os autovalores da matriz:

A = 2 0 - 2 0 3 0 0 0 3

Esta é uma matriz triangular, então os autovalores será a própria diagonal principal. Os autovalores são:

λ 1 = 2

λ 2 = 3

λ 3 = 3

Passo 2

Vamos calcular os Autovetores:

λ - 2 0 2 0 λ - 3 0 0 0 λ - 3 x 1 x 2 x 3 = 0

Para λ 1 = 2

0 0 2 0 - 1 0 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0

Logo:

x 1 = t x 2 = x 3 = 0

O autovetor associado é:

λ 1 = 2 ⇒ x → 1 = t 1 0 0

A base do autovetor é:

p → 1 = 1 0 0

Passo 3

Para λ 2 = λ 3 = 3

1 0 2 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0

Logo:

x 1 = - 2 t x 2 = s x 3 = t

O autovetor associado é:

λ 2 = λ 3 = 3 ⇒ x → = - 2 t s t

Podemos separar em dois vetores:

x → 2 = - 2 t 0 t + 0 s 0

Assim, teremos dois vetores associados ao autovalor:

λ 2 = λ 3 = 3 ⇒ x → 2 = t - 2 0 1   e   x 3 = s 0 1 0  

A base dos autovetores são:

p → 2 = - 2 0 1

p → 3 = 0 1 0

Passo 4

Agora que temos os autovetores, podemos formar o vetor P a partir deles:

P = [ p → 1 p → 2 p → 3 ]

Logo:

P = 1 0 0 - 2 0 1 0 1 0

E vamos calcular a inversa por Eliminação Gaussiana:

P - 1 = 1 0 0 - 2 0 1 0 1 0 | | 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos trocar a segunda e a terceira linha de lugar

P - 1 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 | | 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Vamos pegar a segunda linha, multiplica-la por 2 e somá-la na primeira linha:

P - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | | 1 0 0 0 0 1 2 1 0

A inversa é:

P - 1 = 1 0 0 0 0 1 2 1 0

Passo 5

Agora vamos calcular a matriz diagonal:

P - 1 A P = 1 0 0 0 0 1 2 1 0 2 0 - 2 0 3 0 0 0 3 1 0 0 - 2 0 1 0 1 0

Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:

P - 1 A P = 2 + 0 + 0 0 + 0 + 0 - 2 + 0 + 6 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 3 0 + 0 + 0 0 + 3 + 0 0 + 0 + 0 1 0 0 - 2 0 1 0 1 0

P - 1 A P = 2 0 4 0 0 3 0 3 0 1 0 0 - 2 0 1 0 1 0

Multiplicando mais uma vez obtemos a matriz resultante:

P - 1 A P = 2 + 0 + 0 - 4 + 0 + 4 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 3 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 3 + 0

P - 1 A P = 2 0 0 0 3 0 0 0 3

Resposta

P - 1 A P = 2 0 0 0 3 0 0 0 3

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