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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.3 - Ex. 7

Para cada uma das transformações lineares T verifique se T e invertível e calcule a inversa, T - 1 , se ela existe.

a) T : R 3 → R 3 definida por T x , y , z = ( x + 2 y + z , y + 2 z , z ) .

b) T : P 2 → P 2 definida por T p = p - 2 p ' - p ' ' .

c) T : R 3 → P 2 definida por T a , b , c = a + b + c + a + 2 b + c t + a + 2 c t 2 .

d) T : P 2 → R 3 definida por T p = ( p - 1 , p 0 , p 1 ) .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão para cada uma das transformações lineares T verifique se T e invertível e calcule a inversa, T - 1 , se ela existe.

a) T : R 3 → R 3 definida por T x , y , z = ( x + 2 y + z , y + 2 z , z ) .

b) T : P 2 → P 2 definida por T p = p - 2 p ' - p ' ' .

c) T : R 3 → P 2 definida por T a , b , c = a + b + c + a + 2 b + c t + a + 2 c t 2 .

d) T : P 2 → R 3 definida por T p = ( p - 1 , p 0 , p 1 ) .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para T x , y , z = ( x + 2 y + z , y + 2 z , z ) temos,

A = 1 2 1 0 1 2 0 0 1 escalonando,

T x , y , z = ( x - 2 y + 3 z , y - 2 z , z )

Na letra (b) para T p = p - 2 p ' - p ' ' , temos

1 , t , t 2   p a r a   A = 1 - 2 - 2 0 1 - 4 0 0 1

Logo,

T - 1 a + b t + c t 2 = a + 2 b + 10 c + b + 4 c t + c t 2

Passo 3

Na letra ( c ) para T a , b , c = a + b + c + a + 2 b + c t + a + 2 c t 2

E 1 , E 2 , E 3     e     1 , t , t 2 →   1 1 1 1 2 1 1 0 2

Ficando,

T - 1 a + b t + c t 2 = ( 4 a - 2 b - c , - a + b , - 2 a + b + c )

E por fim na letra (d) para T p = ( p - 1 , p 0 , p 1 ) temos,

    1 , t , t 2   e   E 1 , E 2 , E 3 →   1 - 1 1 1 0 0 1 1 1

Ficando,

T - 1 a , b , c = b + c 2 - a 2 t + a 2 - b + c 2 t 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) T x , y , z = ( x - 2 y + 3 z , y - 2 z , z )

b) T - 1 a + b t + c t 2 = a + 2 b + 10 c + b + 4 c t + c t 2

c) T - 1 a + b t + c t 2 = ( 4 a - 2 b - c , - a + b , - 2 a + b + c )

d) T - 1 a , b , c = b + c 2 - a 2 t + a 2 - b + c 2 t 2

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