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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 22

Para escrever o vetor de coordenadas de um vetor, é necessário especificar um ordenamento dos vetores das bases. Se P for a matriz de transição de uma base B ' para uma base B , qual é o efeito sobre P de uma inversão da ordem dos vetores de B de v 1 ,   … ,   v n para v n ,   … ,   v 1 ? Qual é o efeito sobre P se invertermos a ordem dos vetores de B ' e de B ?

Passo 1

Por uma questão de simplicidade, vamos olhar para esse problema no R 3 com a base B sendo a base canônica. Assim,

B = v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,

v 1 = 1 ,   0 ,   0 ,             v 2 = 0 ,   1 ,   0             e           v 3 = 0 ,   0 ,   1

Já para B ' = u 1 ,   u 2 ,   u 3 , vamos considerar

u 1 = a ,   b ,   c ,             u 2 = d ,   e ,   f           e             u 3 = g ,   h ,   i

Portanto,

u 1 = a ,   b ,   c B ,             u 2 = d ,   e ,   f B           e             u 3 = g ,   h ,   i B

Assim, considerando as bases com os vetores nessa ordem, achamos

P B ' → B = a d g b e h c f i

Passo 2

Agora vamos inverter os vetores de B , de modo que

B = v 3 ,   v 2 ,   v 1

Assim,

u 1 = a ,   b ,   c = c   0 ,   0 ,   1 + b   0 ,   1 ,   0 + a   1 ,   0 ,   0 = c ,   b ,   a B

Analogamente,

u 2 = f , e ,   d B             e           u 3 = i ,   h ,   g B

Portanto,

P B ' → B = c f i b e h a d g

Portanto, quando trocamos a ordem dos vetores de B , nós trocamos a ordem das linhas da matriz P B ' → B .

Passo 3

Se trocarmos a ordem dos vetores de B ' , nós simplesmente vamos trocar as colunas da matriz.

Com isso, vemos que trocando a ordem dos vetores de B , nós trocamos as linhas da matriz. Fazendo o mesmo com B ' , nós trocamos as colunas.

Resposta

Trocando a ordem dos vetores de B , nós trocamos as linhas da matriz. Fazendo o mesmo com B ' , nós trocamos as colunas.

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