Para escrever o vetor de coordenadas de um vetor, é necessário especificar um ordenamento dos vetores das bases. Se P for a matriz de transição de uma base B ' para uma base B , qual é o efeito sobre P de uma inversão da ordem dos vetores de B de v 1 ,… ,v n para v n ,… ,v 1 ? Qual é o efeito sobre P se invertermos a ordem dos vetores de B ' e de B ?

Trocando a ordem dos vetores de B , nós trocamos as linhas da matriz. Fazendo o mesmo com B ' , nós trocamos as colunas.

Enunciado

Por uma questão de simplicidade, vamos olhar para esse problema no com a base sendo a base canônica. Assim,

Já para , vamos considerar

Portanto,

Assim, considerando as bases com os vetores nessa ordem, achamos

Agora vamos inverter os vetores de , de modo que

Assim,

Analogamente,

Portanto,

Portanto, quando trocamos a ordem dos vetores de , nós trocamos a ordem das linhas da matriz .

Se trocarmos a ordem dos vetores de , nós simplesmente vamos trocar as colunas da matriz.

Com isso, vemos que trocando a ordem dos vetores de , nós trocamos as linhas da matriz. Fazendo o mesmo com , nós trocamos as colunas.

Trocando a ordem dos vetores de , nós trocamos as linhas da matriz. Fazendo o mesmo com , nós trocamos as colunas.