Sejam S = e 1 ,   e 2 a base canônica de R 2 e a base que resulta quando os vetores de S são refletidos em torno da reta y = x .

a) Encontre a matriz de transição P B → S .

b) Seja P B → S e mostre que P T = P S → B .

Passo 1

Fala pessoal, nesse problema vamos falar um pouco sobre a reflexão de pontos no plano cartesiano.

O enunciado forneceu a base canônica S = e 1 ,   e 2 com

e 1 = 1 ,   0

e 2 = 0 ,   1

Para achar os vetores de B = u 1 ,   u 2 , temos que refletir os vetores e 1 e e 2 em torno da reta y = x . Quando fazemos esse tipo de reflexão, trocamos as coordenadas x com as coordenadas y :

e 1 = 1 ,   0 → u 1 = ( 0 ,   1 )

e 2 = 0 ,   1 → u 2 = 1 ,   0

Note que

u 1 = 0 ,   1 S             e           u 2 = 1 ,   0 S

Para construir a matriz de mudança de base de B para S , pegamos as coordenadas dos vetores de B escritos na base S e as colocamos nas colunas da matriz:

P B → S = 0 1 1 0

Passo 2

A matriz achada no item (a) é chamada de P :

P = 0 1 1 0

Sabemos que P S → B é a inversa de P B → S . Invertendo P , achamos

P - 1 = 0 1 1 0 = P

Mas note também que a transposta de P é

P T = 0 1 1 0 = P

Portanto,

P B → S = P = P T = P S → B

Resposta

P B → S = 0 1 1 0

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