Sejam S = e 1 ,e 2 a base canônica de R 2 e a base que resulta quando os vetores de S são refletidos em torno da reta y = x .a) Encontre a matriz de transição P B → S .b) Seja P B → S e mostre que P T = P S → B .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 18

Sejam a base canônica de e a base que resulta quando os vetores de são refletidos em torno da reta .

a) Encontre a matriz de transição .

b) Seja e mostre que .

Passo 1

Fala pessoal, nesse problema vamos falar um pouco sobre a reflexão de pontos no plano cartesiano.

O enunciado forneceu a base canônica com

Para achar os vetores de , temos que refletir os vetores e em torno da reta . Quando fazemos esse tipo de reflexão, trocamos as coordenadas com as coordenadas :

Note que

Para construir a matriz de mudança de base de para , pegamos as coordenadas dos vetores de escritos na base e as colocamos nas colunas da matriz:

Passo 2

A matriz achada no item (a) é chamada de :

Sabemos que é a inversa de . Invertendo , achamos

Mas note também que a transposta de é

Portanto,

Resposta

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Seja A = 1 3 - 1 2 0 5 6 - 2 4 a matriz de T : P 2 → P 2 em relação às bases B = { v 1 ,v 2 ,v 3 } , em qu v 1 = 3 x + 3 x 2 , v 2 = - 1 + 3 x + 2 x 2 , v 3 = 3 + 7 x + 2 x 2 . Encontre T v 1 B , T v

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