Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 18

Sejam a base canônica de e a base que resulta quando os vetores de são refletidos em torno da reta .

a) Encontre a matriz de transição .

b) Seja e mostre que .

Passo 1

Fala pessoal, nesse problema vamos falar um pouco sobre a reflexão de pontos no plano cartesiano.

O enunciado forneceu a base canônica com

Para achar os vetores de , temos que refletir os vetores e em torno da reta . Quando fazemos esse tipo de reflexão, trocamos as coordenadas com as coordenadas :

Note que

Para construir a matriz de mudança de base de para , pegamos as coordenadas dos vetores de escritos na base e as colocamos nas colunas da matriz:

Passo 2

A matriz achada no item (a) é chamada de :

Sabemos que é a inversa de . Invertendo , achamos

Mas note também que a transposta de é

Portanto,

Resposta

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