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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.3 - Ex. 11

Seja c uma constante diferente de zero. Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( c x , y ) , para todo x , y ∈ R 2 é chamada expansão ao longo do eixo x se c > 1 e contração ao longo do eixo x se 0 < c , < 1 . Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( x , c y ) , para todo x , y ∈ R 2 e chamada ´ expansão ao longo do eixo y   se c > 1   e contração ao longo do eixo c se 0 < c < 1 .

Uma transformação linear T : R 2 →   R 2 dada por T x , y = ( x + c y , y ) , para todo x , y ∈ R 2 é chamada cisalhamento ao longo do eixo x . Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( x , y + c x ) , é chamada cisalhamento ao longo do eixo y .

(a) Mostre que a matriz elementar que corresponde a trocar duas linhas e a matriz de uma reflexão em relação a reta y = x .

(b) Mostre que a matriz elementar que corresponde a multiplicar uma linha por um escalar não nulo é a matriz de uma expansão, ou a matriz de uma contração, ou a matriz de uma reflexão em relação˜ a um dos eixos coordenados, ou um produto de uma matriz de uma reflexão em relação a um dos eixos coordenados por uma matriz de uma expansão ou contração.

(c) Mostre que a matriz elementar que corresponde a somar a uma linha um múltiplo escalar de outra ´ e a matriz de um cisalhamento ao longo de um dos eixos coordenados.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja c uma constante diferente de zero. Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( c x , y ) , para todo x , y ∈ R 2 é chamada expansão ao longo do eixo x se c > 1 e contração ao longo do eixo x se 0 < c , < 1 . Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( x , c y ) , para todo x , y ∈ R 2 e chamada ´ expansão ao longo do eixo y   se c > 1   e contração ao longo do eixo c se 0 < c < 1 .

Uma transformação linear T : R 2 →   R 2 dada por T x , y = ( x + c y , y ) , para todo x , y ∈ R 2 é chamada cisalhamento ao longo do eixo x . Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( x , y + c x ) , é chamada cisalhamento ao longo do eixo y .

(a) Mostre que a matriz elementar que corresponde a trocar duas linhas e a matriz de uma reflexão em relação a reta y = x .

(b) Mostre que a matriz elementar que corresponde a multiplicar uma linha por um escalar não nulo é a matriz de uma expansão, ou a matriz de uma contração, ou a matriz de uma reflexão em relação˜ a um dos eixos coordenados, ou um produto de uma matriz de uma reflexão em relação a um dos eixos coordenados por uma matriz de uma expansão ou contração.

(c) Mostre que a matriz elementar que corresponde a somar a uma linha um múltiplo escalar de outra ´ e a matriz de um cisalhamento ao longo de um dos eixos coordenados.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para mostrar que a matriz elementar corresponde a trocar duas linhas em relação y = x temos,

I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 0 0 0 α 0 0 0 1 = E

α ≠ 0

Na letra (b) para mostrar a matriz elementar que corresponde a multiplicar uma linha por um escalar não nulo é a matriz de uma expansão, ou a matriz de uma contração, ou a matriz de uma reflexão em relação˜ a um dos eixos coordenados, ou um produto de uma matriz de uma reflexão em relação a um dos eixos coordenados por uma matriz de uma expansão ou contração, temos

α ≠ 0

Na letra ( c ) para mostrar a matriz elementar que corresponde a somar a uma linha um múltiplo escalar de outra ´ e a matriz de um cisalhamento ao longo de um dos eixos coordenados temos,

α 0 0 0 α 0 0 0 α

Ficando,

α 2 ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) α ≠ 0

b) α ≠ 0

c) α 2 ≠ 0

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