Enunciado

Calcular, se existir, a matriz inversa de A (usando sua adjunta) e use essa inversa para resolver A X = B nos seguintes casos:

  1. A = 1 1 2 3 B = 1 4
  2. A = 1 2 1 1 0 1 2 1 0 B = 3 1 2
  3. A = 1 1 2 0 0 2 0 1 0 0 3 2 0 0 0 4 B = 4 3 2 1

Passo 1

Vamos lá! Essa é uma questão bem direta! Primeiro, ela pede para calcularmos a matriz inversa de A (e ainda afirma o método que devemos utilizar, vê se pode isso!), e depois pede para usarmos essa inversa na resolução do sistema.

Então, vamos precisar da inversa, pois a resolução X será dado por:

X = A - 1 B

Desta forma, temos que descobrir A - 1 e depois fazer o produto de B . Mas, para obtermos A - 1 precisamos utilizar o método da adjunta, o que envolve uma série de passos. Então, vamos ver todo este procedimento calmamente.

Passo 2

O nosso primeiro passo para calcular a matriz inversa, é calcular uma matriz A c .

Lembram quando vamos calcular o determinante de uma matriz pelo método dos cofatores? Então, lá nós tínhamos o termo A i j . Ele era dado pela multiplicação de - 1 i + j pelo determinante da matriz resultante obtida ao retirarmos a linha i e e coluna j da matriz.

Então, a nossa matriz A c é obtida pelos termos por estes termos. Então, o termo a 11 é A 11 , da mesma forma que a 21 é A 21 . Sendo assim, podemos escrever a matriz A c da seguinte forma:

A c = - 1 1 + 1 det ⁡ 2 0 1 0 3 2 0 0 4 - 1 1 + 2 det ⁡ 0 0 1 0 3 2 0 0 4 - 1 1 + 3 det ⁡ 0 2 1 0 0 2 0 0 4 - 1 1 + 4 det ⁡ 0 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1 2 + 1 det ⁡ 1 2 0 0 3 2 0 0 4 - 1 2 + 2 det ⁡ 1 2 0 0 3 2 0 0 4 - 1 2 + 3 det ⁡ 1 1 0 0 0 2 0 0 4 - 1 2 + 4 det ⁡ 1 1 2 0 0 3 0 0 0 - 1 3 + 1 det ⁡ 1 2 0 2 0 1 0 0 4 - 1 3 + 2 det ⁡ 1 2 0 0 0 1 0 0 4 - 1 3 + 3 det ⁡ 1 1 0 0 2 1 0 0 4 - 1 3 + 4 det ⁡ 1 1 2 0 2 0 0 0 0 - 1 4 + 1 det ⁡ 1 2 0 2 0 1 0 3 2 - 1 4 + 2 det ⁡ 1 2 0 0 0 1 0 3 2 - 1 4 + 3 det ⁡ 1 1 0 0 2 1 0 0 2 - 1 4 + 4 det ⁡ 1 1 2 0 2 0 0 0 3 = 24 0 0 0 - 12 12 0 0 - 16 0 8 0 11 - 3 - 4 6

1 1 2 0 0 2 0 1 0 0 3 2 0 0 0 4

Agora que calculamos a matriz A c , vamos calcular a matriz adjunta de A , que é exatamente a matriz transposta de A c . Portanto,

a d j A = A c t = 24 - 12 - 16 11 0 12 0 - 3 0 0 8 - 4 0 0 0 6

Estamos quase lá! A matriz inversa de A então é expressa por:

A - 1 = 1 det ⁡ A a d j A

Só nos resta calcularmos o determinante de A . Como a matriz A é uma matriz triangular inferior, então seu determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. Portanto, ele será:

det ⁡ A = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24

Portanto,

A - 1 = 1 2 4 24 - 12 - 16 11 0 12 0 - 3 0 0 8 - 4 0 0 0 6 = 1 - 1 2 - 2 3 11 24 0 1 2 0 - 1 8 0 0 1 3 - 1 6 0 0 0 1 4

E assim finalizamos a primeira parte da questão!

Passo 3

Agora, vamos para a parte mais difícil! Só que não!

Agora é a moleza, uma multiplicação de matriz. A nossa solução X será:

X = A - 1 B

X = 1 - 1 2 - 2 3 11 24 0 1 2 0 - 1 8 0 0 1 3 - 1 6 0 0 0 1 4 4 3 2 1

X = 13 / 8 11 / 8 1 / 2 1 / 4

E assim finalizamos a questão!

Resposta

A - 1 = 1 - 1 2 - 2 3 11 24 0 1 2 0 - 1 8 0 0 1 3 - 1 6 0 0 0 1 4

X = 13 / 8 11 / 8 1 / 2 1 / 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

20. Calcule o determinante da matriz do Exercício 12 usando uma expansão de cofatores ao longo(a) da primeira linha(b) da primeira coluna(c) da segunda linha(d) da segunda coluna(e) da terceira linha(
19. Calcule o determinante da matriz do Exercício 13 usando uma expansão de cofatores ao longo(a) da primeira linha(b) da primeira coluna(c) da segunda linha(d) da segunda coluna(e) da terceira linha(
Nos Exercício 1-2, encontre todos os menores e cofatores da matriz A.2. A = 1 1 2 3 3 6 0 1 4
Nos Exercícios 27-32, obtenha por inspeção o determinante da matriz dada.30. 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 3 3 0 0 0 4
Nos Exercícios 27-32, obtenha por inspeção o determinante da matriz dada.29. 0 0 0 0 1 2 0 0 0 4 3 0 1 2 3 8