Seja a matriz de ordem (Vandermonde)

1. Provar que , onde o símbolo significa que devemos multiplicar todos os números com os índices e satisfazendo a condição . Por exemplo o determinante de
2. Provar que se para então é inversível.

Certo, como já foi dito no Passo 1, vamos utilizar cofatores para calcular o determinante da matriz . Para isto, vamos fixar a e variar em relação as colunas . Portanto, temos a seguinte relação:

Certo, mas como que esta formulação nos ajudou? Como todos os termos são diferentes de zero, nós só aumentamos imensamente o nosso cálculo!!!

Será se realmente é isto o que deveríamos fazer?

Bom, lembram no Passo 1 que foi dito que precisaríamos da formulação de cofatores e trabalhar com operações de linhas e colunas para a nossa matriz? Já fizemos a primeira parte do que dissemos, falta a segunda, não é?

Então, agora que começamos as operações com matrizes. Primeiramente, vamos pegar todas as linhas e subtrair da primeira. Por exemplo, vamos fazer e . Com isto, vamos obter:

Agora, vamos zerar os primeiros elementos da linha , com exceção apenas do elemento . Para isto, a gente tem que fazer o processo de trás para frente.

Mas como assim de trás para frente? Então. Vamos começar zerando o nosso último elemento, o .

Para isto, vamos pegar a coluna , cujo elemento , e multiplicar toda esta coluna por e assim somaremos com a coluna . Então, o que faremos é . Se fizermos isto, teremos:

E portanto,

E assim podemos continuar fazendo para o a coluna . Para isto, basta fazer . Fazemos este procedimento até a coluna 2, com . Com isto, vamos obter:

É importante ressaltar que ambos os passos são essenciais para conseguirmos visualizar o padrão de repetição do nosso problema.

Bom, continuando, ao fazermos todos os procedimentos do Passo 2, todos os elementos , até são iguais a 0. Portanto, a nossa fórmula para o determinante será apenas:

Agora, temos que calcular o determinante de uma matriz de ordem (percebam que já diminuímos em 1 a ordem da nossa matriz. A ideia é fazer o mesmo processo que fizemos no Passo 1 só que para a matriz:

Só que para isto, nós precisamos realizar algumas operações antes, colocando a nossa nova matriz no “formato original” da matriz de Vandermonde. Isto é, aquela matriz com uma coluna com número 1.

E como faremos isto? Bom, o primeiro passo será colocar o termo da primeira linha em evidência. Com isto, teremos:

Lembrando que o escalar sai multiplicando toda a matriz. E se fizermos com o termo da segunda linha? E com o da terceira linha? E com o termo da linha ? Colocando todos os termos em evidência, teremos:

E portanto, como , podemos reescrever a nossa fórmula do determinante da seguinte forma:

E agora? Para termos certeza do padrão, vamos repetir brevemente todos os procedimentos que fizemos lá no Passo 2 para reorganizar a nossa matriz.

Começando pelas operações de linhas, temos:

Agora, fazendo as operações entre colunas, teremos:

Então, o determinante desta matriz, aplicando a técnica de cofatores (novamente), será:

Colocando os termos em evidência na primeira linha, na segunda linha, até o termo na linha , obteremos:

E portanto, o determinante da nossa matriz será:

Podemos continuar fazendo este procedimento, mas o padrão já está claro. Iremos reduzir a matriz até a ordem 2 para obter o último termo . Com isto, podemos induzir que a fórmula do determinante é:

E assim, conseguimos chegar ao resultado da letra a).

Para finalizarmos a questão, temos que provar que, se , para , então é inversível.

Bom, para que uma matriz seja inversível, seu determinante deve ser diferente de 0. Portanto,

Depois, percebam que todos os termos do determinante da matriz são do tipo , sendo . Nunca teremos algo do tipo , o que iria zerar o nosso determinante.

Para finalizarmos, a nossa análise, para que o determinante seja diferente de zero, obrigatoriamente, não pode existir , o que implica em .

Assim, acabamos de provar que, para que o determinante de seja diferente de zero (o que possibilita que ele seja inversível), temos que garantir que para .