Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 65

Calcular k de modo que a reta determinada por A 1 , - 1,0 e B k , 1,2 seja paralela ao plano π : x = 1 + 3 h , y = 1 + 2 h + t , z = 3 + 3 t .

Passo 1

Vamos lá, se uma reta é paralela a um plano, temos que o produto escalar do vetor diretor v → da reta com o vetor normal n → do plano deve ser igual a zero:

v → ⋅ n → = 0

Precisamos então encontrar esses dois vetores.

Passo 2

Pronto, vamos tirar algumas informações da reta analisando o formato da equação da reta:

r : x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta, e podemos encontrar esse vetor diretor usando pois pontos, dessa forma:

v → = A B →

Vamos então encontrar usando os dois pontos A e B do enunciado:

v → = A B → = B - A = k , 1,2 - 1 , - 1,0 = k - 1,1 + 1,2 - 0 = k - 1,2 , 2

Passo 3

Agora vamos encontrar o vetor normal do plano, temos que o formato das equações paramétricas de um plano é:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Onde u → = a 1 , b 1 , c 1 e v → = a 2 , b 2 , c 2 são vetores diretores do plano, e precisamos encontrar um vetor normal do plano, e sabemos que podemos calcular esse vetor fazendo o produto vetorial de u → e v → , que aqui temos como u → = 3,2 , 0 e v → = 0,1 , 3 :

n → = u → × v → = i → j → k → 3 2 0 0 1 3 = i → j → k → 3 2 0 0 1 3         i → j → 3 2 0 1 = 6 i → + 0 j → + 3 k → - 0 k → - 0 i → - 9 j → =

= 6 i → - 9 j → + 3 k →

Temos então que o vetor normal do plano é:

n → = 6 , - 9 , 3

Passo 4

Pronto, último passo aqui é então calcular o produto escalar e achamos o valor de k :

v → ⋅ n → = 0 → k - 1,2 , 2 ⋅ 6 , - 9,3 = 0 → 6 k - 1 - 18 + 6 = 0 → 6 k - 6 - 12 = 0 →

→ 6 k = 18 → k = 3

Resposta

k = 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano.36. O plano que passa pelo ponto 1 , - 1,1 e contém a reta com equações simétricas x = 2 y = 3 z
Escreva uma equação do plano determinado pelos pontos A=( 2,2 , - 1 ) , B=( 0,4 , - 2 ) e C =( - 1,3 , 3 ) .
a) Encontre a equação do plano π que passa pelos pontos A = ( 0,0 , - 1 ) , B = ( 0,1 , 0 ) e C = ( 1,0 , 1 ) .
Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numérico.
Digite no prompt demog22, (sem a vírgula!). Está função demonstra as funções gráficas para visualização de retas e planos.