Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 53a
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por , é paralela ao plano e concorrente com a reta , nos casos:
, , , ,
Determinar ainda o ponto de interseção entre e .
Passo 1
Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações paramétricas da reta:
Aqui temos que o ponto é um ponto que passa pela reta e um vetor direção da reta.
Aqui podemos achar o ponto bem simples, é só usar o ponto da origem , já que a reta passa por ele:
Falta então encontrar os valores , e do vetor diretor da reta, vamos lá!!
Passo 2
Agora vamos encontrar um plano que é paralela ao plano e que contem a reta , que vai ser da forma:
Se esse plano contém a reta então ele contém o ponto que passa pela reta. Vamos então substituir esse ponto na equação do plano, e assim encontramos o valor de que falta no plano:
Temos então o plano que possui a reta como:
Passo 3
Agora como é concorrente com a reta , eles têm um ponto em comum, e como pertence a a reta também tem um ponto em comum com , assim vamos substituir a reta no plano para achar o valor de , assim podemos encontrar o ponto de intersecção de com :
Pronto, vamos substituir:
Agora podemos encontrar o ponto de interseção de com :
Achamos o ponto que pertence à reta , e agora podemos então encontrar os valores , e do vetor diretor da reta , usando também o ponto da seguinte forma:
Passo 4
Pronto, agora que temos o vetor diretor é só substituir na equação da reta e tudo resolvido:
Temos que a reta que passa por , é paralela ao plano e concorrente com a reta é:
Resposta
e