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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 12

Calcular | u → + v → | | u → - v → | e u → + v → ⋅ ( u → - v → ) , sabendo que u → = 4 , v → = 3 e o ângulo entre u → e v → é de 60 °

Passo 1

Beleza, o enunciado nos pede 3 coisas, vamos começar com a primeira, que é calcular | u → + v → | , para isso vamos usar a formula

u → + v → 2 = u → 2 + 2 u → ⋅ v → + v → 2

Para isso vamos precisar achar quem é u → ⋅ v → , usando a fórmula

c o s θ = u → ⋅ v → u → v →  

cos ⁡ 60 = u → ⋅ v → 4 * 3

u → ⋅ v → = 12 * 1 2

u → ⋅ v → = 6

Agora voltando pra nossa fórmula, temos que:

u → + v → 2 = 4 2 + 2 * 6 + 3 2

u → + v → 2 = 37

u → + v → = 37

Passo 2

Agora para u → - v → , vamos utilizar a fórmula

u → - v → 2 = u → 2 - 2 u → ⋅ v → + v → 2

u → - v → 2 = 3 2 - 2 * 6 + 4 2

u → - v → 2 = 13

u → - v → = 13

Passo 3

Para fazer u → + v → ⋅ ( u → - v → ) , vamos fazer a distributiva

  u → + v → ⋅ u → - v → = u → ⋅ u → - u → ⋅ v → + v → ⋅ u → - v → ⋅ v →

u → + v → ⋅ u → - v → = u → ⋅ u → - v → ⋅ v →

E, sabemos que

u → ⋅ u → = u → 2 - v → 2

Então ficamos com

u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - v → 2

u → + v → ⋅ u → - v → = 4 2 - 3 2

u → + v → ⋅ u → - v → = 7

Resposta

u → + v → = 37

u → - v → = 13

u → + v → ⋅ u → - v → = 7

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