Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 18
Seja uma base ortonormal de . Se é uma matriz cujas colunas são os vetores , então é invertível e . (Sugestão: mostre que .)
Passo 1
Eaew, belezinha?
Para resolver esta questão é interessante lembrar que uma matriz invertível é aquela que tem solução para o sistema de equações dado por . Onde é a matriz identidade em dimensões! A matriz identidade é uma matriz em que toda a diagonal é composta por elementos de valor 1, e todos os outros elementos são 0, beleza?
Neste exercício também vai ser conveniente lembrar que:
Em que e representam vetores escritos como matriz coluna! Vamos partir disso, e ver o que saí!
Passo 2
Se tentarmos usar a sugestão do enunciado, temos que:
Se é uma matriz cujas colunas são os vetores , então, a sua transposta, , é a matriz cujas linhas são os vetores . Se recordar da teoria de produto matricial, você precisa fazer o produto da primeira linha com a primeira coluna (elemento a elemento, primeiro com primeiro, segundo com segundo), somar todos os termos e isso te dá o elemento da sua matriz. Analogamente, se fizer a primeira linha vezes a segunda coluna, você vai obter o elemento da matriz. Assim por diante até ter toda a matriz . Mas e daí? Saca só!
Passo 3
O interessante disso, é que o produto de uma linha por uma coluna, em nosso caso é justamente:
Isso é o produto interno do vetor com si próprio! E como o enunciado nos indica, representa uma base ortonormal, portanto, temos que:
Devido a ortogonalidade dos vetores e sua normalização! Sendo assim, a diagonal de nossa matriz resultante será composta por 1, e os outros termos serão 0, ou seja:
O que indica que e que existe uma solução para a inversa e portanto essa matriz é invertível! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos.