Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 33

Em cada um dos problemas 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

Passo 1

Vamos começar achando a equação reduzida, juntando os x ' s e os y ' s

4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 36 y = - 4

Show agora podemos visualizar melhor a sacada que vamos precisar!

4 x 2 - 2 x + 9 y 2 - 4 y = - 4

O que vamos fazer agora é completar quadrados, lembrando que:

x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

y - 2 2 = y 2 - 4 y + 4

Então vamos acrescentar esse 2 e o 4 dentro dos parênteses, mas quando fazemos isso temos que compensar do outro lado, então vamos ter que acrescentar 4 * 1 e 9 * 4 , no total temos que acrescentar 40 do outro lado da equação, então ficamos com

4 x 2 - 2 x + 1 + 9 y 2 - 4 y + 4 = - 4 + 40

4 x - 1 2 + 9 y - 2 2 = 36

Como a nossa equação tem que ser do tipo

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Vamos dividir os dois lados por 36

4 x - 1 2 36 + 9 y - 2 2 36 = 1

x - 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1

Podemos ver então que nossa equação reduzida é da forma:

Então, podemos ver que

C e n t r o = ( 1 , 2 )

a 2 = 9

b 2 = 4

E nossa equação reduzida fica:

x 2 ' 9 + y 2 ' 4 = 1

Passo 2

Com a 2 e b 2 podemos encontrar quem é nossa distancia focal c , fazendo

a 2 = b 2 + c 2

c 2 = 9 - 4

c = 5

Passo 3

Para acharmos os vértices, basta somar ± a na coordenada x e

A 1 = x 0 + a , y 0

A 1 = 4,2

A 2 = x 0 - a , y 0

A 2 = ( - 2,2 )

Passo 4

Achando c , podemos achar o foco, que vai ser no eixo x, já que o eixo maior é nele, somando a coordenada x do centro com ± c , para achar os dois focos, ou seja,

F 1 = ( x 0 + c , y 0 )

F 1 = 1 + 5 , 2

F 2 = x 0 - c , y 0

F 2 = ( 1 - 5 , 2 )

Passo 5

Agora para achar a excentricidade é só lembrar da formulinha

e = c a

e = 5 3

Passo 6

Juntando esses resultados que achamos podemos desenhar a nossa elipse, que fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O mecanismo da Figura 22-27 (b), conhecido como compasso elíptico, é formado por uma haste rígida, de comprimento m , cujas extremidades A e B são articuladas a blocos obrigados a movimentar-se nas re
Deduza as equações da elipse e da hipérbole que foram citadas no texto.
Sejam M e N pontos distintos, k um número tal que 0k1 , e P um ponto cuja projeção ortogonal Q sobre a reta M N pertence ao segmento M N . Mostre que, se P Q → 2 = k 2 M Q → N Q → , então P pertence à
Dê condições sobre a e b para que o losango cujos vértices são os focos e as extremidades do eixo conjugado da hipérbole H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 seja um quadrado. Calcule a área do losango.
Imponha condições sobre a e b para que exista um quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados com vértices na hipérbole H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 , e calcule sua área.