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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 17a

Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer de R n , então:

a) V ⋅ W = 1 4 [ | | V + W | | 2 ] - | | V - W | | 2 ]   ( i d e n t i d a d e   p o l a r ) ;

(Sugestão: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que | | V + W | | 2 = ( V + W ) ⋅ ( V + W ) e | | V - W | | 2 = ( V - W ) ⋅ ( V - W ) )

Passo 1

Eaew, como vai indo? Firme e forte?

Não tem muito que introduzir aqui nesta questão, vamos utilizar a sugestão dada é expandir o lado direito da igualdade, belezinha? Vamos que vamos!

Passo 2

Vamos com calma, e começar expandindo:

| | V + W | | 2 = ( V + W ) ⋅ ( V + W )

Vamos utilizar a propriedade associativa do produto escalar, e obter:

( V + W ) ⋅ ( V + W ) = ( V + W ) ⋅ V + ( V + W ) ⋅ W →

→ V ⋅ V + W ⋅ V + V ⋅ W + W ⋅ W = | | V | | 2 + 2 V ⋅ W + | | W | | 2

Aqui usei a definição de módulo como | | X | | = X ⋅ X e também que X ⋅ Y = Y ⋅ X (comutatividade do produto escalar). Vamos expandir agora o outro termo da igualdade!

Passo 3

Expandindo o segundo termo temos:

| | V - W | | 2 = ( V - W ) ⋅ ( V - W )

Analogamente ao que fizemos no passo anterior, temos:

( V - W ) ⋅ ( V - W ) = ( V - W ) ⋅ V - ( V - W ) ⋅ W →

→ V ⋅ V - W ⋅ V - V ⋅ W + W ⋅ W = | | V | | 2 - 2 V ⋅ W + | | W | | 2

Agora temos que juntar tudo, vamos fazer isso!

Passo 4

Aplicando as expressões que achamos na relação original, temos:

V ⋅ W = 1 4 [ | | V | | 2 + 2 V ⋅ W + | | W | | 2 - ( | | V | | 2 - 2 V ⋅ W + | | W | | 2 ) ] →

→ V ⋅ W = 1 4 [ 2 V ⋅ W + 2 V ⋅ W ] = 1 4 × 4 V ⋅ W = V ⋅ W

Como a igualdade se mantém, temos que a propriedade é válida! Esta alternativa foi! Bora para a próxima!

Resposta

Ao longo dos passos.

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Se r t = ( e 2 t ,e - 2 t , t e 2 t ) , determine T 0 ,r ' ' ( 0 ) e r ' t ⋅ r ' ' ( t ) .