Demonstre que, se V e W são vetores quaisquer de R n , então:

a) V ⋅ W = 1 4 [ | | V + W | | 2 ] - | | V - W | | 2 ]   ( i d e n t i d a d e   p o l a r ) ;

(Sugestão: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que | | V + W | | 2 = ( V + W ) ⋅ ( V + W ) e | | V - W | | 2 = ( V - W ) ⋅ ( V - W ) )

Passo 1

Eaew, como vai indo? Firme e forte?

Não tem muito que introduzir aqui nesta questão, vamos utilizar a sugestão dada é expandir o lado direito da igualdade, belezinha? Vamos que vamos!

Passo 2

Vamos com calma, e começar expandindo:

| | V + W | | 2 = ( V + W ) ⋅ ( V + W )

Vamos utilizar a propriedade associativa do produto escalar, e obter:

( V + W ) ⋅ ( V + W ) = ( V + W ) ⋅ V + ( V + W ) ⋅ W →

→ V ⋅ V + W ⋅ V + V ⋅ W + W ⋅ W = | | V | | 2 + 2 V ⋅ W + | | W | | 2

Aqui usei a definição de módulo como | | X | | = X ⋅ X e também que X ⋅ Y = Y ⋅ X (comutatividade do produto escalar). Vamos expandir agora o outro termo da igualdade!

Passo 3

Expandindo o segundo termo temos:

| | V - W | | 2 = ( V - W ) ⋅ ( V - W )

Analogamente ao que fizemos no passo anterior, temos:

( V - W ) ⋅ ( V - W ) = ( V - W ) ⋅ V - ( V - W ) ⋅ W →

→ V ⋅ V - W ⋅ V - V ⋅ W + W ⋅ W = | | V | | 2 - 2 V ⋅ W + | | W | | 2

Agora temos que juntar tudo, vamos fazer isso!

Passo 4

Aplicando as expressões que achamos na relação original, temos:

V ⋅ W = 1 4 [ | | V | | 2 + 2 V ⋅ W + | | W | | 2 - ( | | V | | 2 - 2 V ⋅ W + | | W | | 2 ) ] →

→ V ⋅ W = 1 4 [ 2 V ⋅ W + 2 V ⋅ W ] = 1 4 × 4 V ⋅ W = V ⋅ W

Como a igualdade se mantém, temos que a propriedade é válida! Esta alternativa foi! Bora para a próxima!

Resposta

Ao longo dos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.r(t) = cos(t) i + 3t j + 2 sen(2t) k, t = 0
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.25. x = e^(-t) * cos(t) , y = e^(-t) * sen(t) , z = e^(-t); (1,0, 1)
(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t) .(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t .r(t) = 〈 t - 2, t^2 + 1 〉, t = -1
Se r(t) = (t, t^2, t^3) , encontre r' (t), T (1), r'' (t) e r'(t) × r''(t) .
Se r(t) = (e^(2t), e^(-2t), t, e^(2t)) , determine T(0), r''(0) e r' (t) ⋅ r''(t) .