Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 3f
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:
Passo 1
Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que . Arrumando, a equação, vamos obter:
Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de nessa equação. Por fim, a gente usa que de novo, pra encontrar os vetores próprios.
Passo 2
Bora pra conta!
Expandindo pela regra de Sarrus:
Essa parada aí é bem feia... quando tem uma conta do terceiro grau a gente não tem muita opção a não ser chutar um valor. A gente começa com valores pequenos! Tenta , não funciona. Tenta , não funcionam. Tenta ... Ah, esse funciona! Então a gente pode fatorar o polinômio como:
Que pode ser fatorado como:
Opa, resolvendo isso encontramos nossos valores próprios. Tem o (sendo dois valores próprios iguais a ) e .
Passo 3
Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de que encontramos na equação . Substituindo :
Multiplicando, vamos obter a mesma coisa em todas as equações:
Então os vetores próprios de são da forma .
Agora substituindo :
Soma a segunda e a terceira:
Substituindo na segunda:
Substituindo na primeira pra ver se bate:
Beleza! Então o nosso vetor próprio vai ser .