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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.Teste do Capítulo - Ex. 1

Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior.

⎜   1                 3                 9           7   ⎜

⎜   2                 3                 2           5   ⎜

⎜   0                 3                 4           1   ⎜

⎜   4                 6                 9           1   ⎜

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão, precisamos lembrar do teorema 2.13 do livro.

(i)Quando multiplicamos a matriz por α , então d e t   ( α A ) = α   d e t   A

(ii) Se B resulta de A pela troca da posição de duas linhas k ≠ l , então d e t   B = - d e t   A

(iii) Se B é obtida de A substituindo-se a linha l por ela somada a um múltiplo escalar de uma linha k, k ≠ l , então d e t   B = d e t   A

Então, podemos realizar essas operações para obter uma matriz diagonal superior. Isso vai facilitar muito os nossos cálculos do determinante. Para facilitar ainda mais as coisas, vamos usar só a condição (iii) porque aí não temos que nos preocupar com a mudança de sinal ou multiplicação por escalar.

Passo 2

A ideia aqui é ter valores diferentes de zero somente na parte superior da matriz. Então, vamos lá!

⎜   1                 3                 9           7   ⎜

⎜   2                 3                 2           5   ⎜

⎜   0                 3                 4           1   ⎜

⎜   4                 6                 9           1   ⎜

L 2 - 2 L 1 → L 2 :

⎜   1                   3                       9                             7       ⎜

⎜   0     - 3       - 16           - 9       ⎜

⎜   0                   3                       4                           1         ⎜

⎜   4                   6                       9                           1         ⎜

L 4 - 4 L 1 → L 4 :

⎜   1                   3                       9                               7     ⎜

⎜   0     - 3       - 16             - 9     ⎜

⎜   0                   3                       4                             1       ⎜

⎜   0     - 6       - 27           - 27   ⎜

L 3 + 2 L 2 → L 3 :

⎜   1                   3                         9                             7     ⎜

⎜   0     - 3         - 16           - 9     ⎜

⎜   0                   0         - 12           - 8     ⎜

⎜   0                   0                         5             - 9       ⎜

L 4 + 5 12 L 3 → L 4 :

⎜   1                   3                           9                             7     ⎜

⎜   0     - 3         - 16             - 9     ⎜

⎜   0                   0         - 12             - 8     ⎜

⎜   0                   0                         0             - 37 3 ⎜

Passo 3

Depois de tudo isso, podemos calcular o determinante da matriz:

d e t   A = d e t   B = 1 ⋅ ( - 3 ) ⋅ ( - 12 ) ⋅ ( - 37 3 ) = - 444

Resposta

- 444

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