Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.Teste do Capítulo - Ex. 4

Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:

(a) Se , então ;

(b) Se e é não singular, então determinante de é ;

(c) Se , então .

(d)

Passo 1

E aí, galera! Tudo belezinha? Então, bora lá detonar mais uma questão!

(a)Para verificar , vamos multiplicar por em ambos os lados. No lado esquerdo, devemos ter a matriz identidade, pois

Basicamente, temos que ver se , usando . Se sim, então a afirmação da questão é verdadeira. Nós temos

Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 2

(b) Galerinha, a matriz singular é aquela que não possui inversa. Nesse caso, o determinante tem que ser . Como a matriz é não singular, então . Além disso, o determinante tem propriedades que podemos usar, como , e . Sendo assim, temos

Então, se a gente assumir que é verdadeira, então

Assim, vemos que somente quando for ímpar. Então, a afirmação é falsa.

Passo 3

(c)Usando mais uma vez as propriedades e , junto com , podemos calcular o determinante de :

Ótimo! A afirmação é verdadeira.

Passo 4

(d) A afirmação é falsa e, para mostrar isso, vamos usar um contra-exemplo, que é um caso específico mostrando que a relação não é válida. Vamos usar as matrizes