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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 14

Calcule   overset(-)(overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u) com os vetores vec u , vec v e vec w no Exercício 12.

Passo 1

Os vetores da questão são:

vec u = (1 + i , 4,3 i)

vec v = (3 , - 4 i , 2 + 3 i)

w = (1 - i , 4 i , 4 - 5 i)

Passo 2

Vamos calcular os produtos vetoriais

Primeiro vamos calcular overset(-)(i * vec u) :

overset(-)(i * vec u) = overset(-)(i * (1 + i , 4,3 i)) overset(-)(i * vec u) = overset(-)((- 1 + i , 4 i , - 3)) overset(-)(i * vec u) = (- 1 - i , - 4 i , - 3)

Agora vamos calcular overset(-)(i * vec u) * vec w :

overset(-)(i * vec u) * vec w = (- 1 - i , - 4 i , - 3) * (1 - i , 4 i , 4 - 5 i) overset(-)(i * vec u) * vec w = - (1 + i) (1 + i) - 4 i (- 4 i) - 3 (4 + 5 i) overset(-)(i * vec u) * vec w = - 28 - 17 i

Agora vamos calcular ‖u‖ :

‖u‖ = ‖(1 + i , 4,3 i)‖ ‖u‖ = sqrt(|1 + i|^2 + |4|^2 + |3 i|^2) ‖u‖ = 3 sqrt(3)

E por fim, vamos calcular vec v * vec u

vec v * vec u = (3 , - 4 i , 2 + 3 i) (1 + i , 4,3 i) vec v * vec u = 12 - 25 i

Passo 3

Vamos resolver a expressão. Um detalhe é que ‖u‖ é uma constante. Então, a parte (‖u‖ * vec v) * vec u pode ser reorganizada como ‖u‖ * ( vec v * vec u )

overset(-)(overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u) = overset(-)(overset(-)(i * vec u) * w + ‖u‖ * ( vec v * vec u ))

Vamos aplicar os valores que já calculamos:

overset(-)(overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u) = overset(-)((- 28 - 17 i) + 3 sqrt(3) * (12 - 25 i)) overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u = overset(-)(- 28 - 17 i + 36 sqrt(3) - 75 sqrt(3) i) overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u = overset(-)((- 28 + 36 sqrt(3)) - (17 + 75 sqrt(3)) i) overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u = (- 28 + 36 sqrt(3)) + ( 17 + 75 sqrt(3) ) i

Resposta

overset(-)(overset(-)(i * vec u) * w + (‖u‖ * vec v) * vec u) = (- 28 + 36 sqrt(3)) + ( 17 + 75 sqrt(3) ) i

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