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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 7b

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 0,6 e 0 , - 6 , e o eixo maior mede 34.
  4. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  5. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  6. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  7. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  8. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

Como os focos estão localizados em O y , sabemos então que q 2 > p 2 . E, neste caso, chamamos estes denominadores de uma forma especial:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Para finalizarmos a questão, vamos utilizar as relações do eixo maior e da distância focal.

O eixo maior tem comprimento 2 a = 10 . Portanto, o valor de a é 5!

Já a distância focal tem comprimento 2 c = 6 . Logo, c = 3 .

Só que quem é c ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de a e b :

c 2 = a 2 - b 2

b 2 = a 2 - c 2 = 5 2 - 3 2

b 2 = 25 - 9 = 16

b = 4

Novamente, só assumimos o valor positivo, pois, os parâmetros geométricos são positivos por definição. Portanto, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 16 + y 2 25 = 1

Resposta

x 2 16 + y 2 25 = 1

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Escreva as equações das seguintes elipses: (a) Os focos são F1 = (−1, 2) e F2 = (3, 2) e satisfaz distância (P, F1) + distância (P, F2) = 6;
Escreva as equações das seguintes elipses: (b) Os focos são F1 = (−1, −1) e F2 = (1, 1) e satisfaz distância (P, F1) + distância (P, F2) = 4;
Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a cônica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico: 4 x 2 + 2 y 2 = 1 x 2 + y = 0 x 2 - 9 y 2 = 9
Mostre que a equação da elipse com focos nos pontos F 1 = ( x 0 - c , y 0 ) e F 2 = ( x 0 + c , y 0 ) e satisfaz d i s t P , F 1 + d i s t P , F 2 = 2 a em que ac é x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 ,
Cada uma das equações a seguir representa o conjunto vazio, um ponto, uma reta, um par de retas paralelas ou um par de retas que se cortam na origem. Decida cada situações e determine as retas, se for