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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 7

Se o centro de uma circunferência que passa pelo polo é (a, α), mostre que sua equação em coordenadas polares é r = 2a cos(θ − α).

Passo 1

Falaaa ae, tudo bem cntg? :D

Se o ponto C 0 = ( a , α ) é o centro da circunferência e ela passa pela origem O = ( 0,0 ) ., temos:

r =   O C 0 → = a 2 + α 2

r = a 2 + α 2  

Passo 2

Como a equação da circunferência é dada por:

C : x - a 2 + y - α 2 = r 2

E as coordenadas polares de x e y valem:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Substituindo:

C : r c o s θ - a 2 + r s e n θ - α 2 = a 2 + α 2  

C : r 2 cos 2 ⁡ θ - 2 a r c o s θ + a 2 + r 2 s e n 2 θ - 2 α r s e n θ + α 2 = a 2 + α 2

C : r 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ ) - 2 r ( a c o s θ + α s e n θ = 0

C : r = 2 a c o s ⁡ ( θ   -   α )

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares: r = 2 1 - 3 cos ⁡ θ r = 4 sen ⁡ θ r = 9 cos ⁡ θ r = 3 2 + sen ⁡ θ r = tg ⁡ θ r acos ⁡ θ + b sen ⁡ θ - c = 0
Se a cônica de equação r = d e 1 - e c o s θ representa uma parábola, determine as coordenadas polares do seu vértice e a equação em coordenadas polares da reta diretriz.
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Se a cônica de equação r = d e 1 - e cos ⁡ θ representa uma elipse, mostre que o comprimento do seu eixo menor é 2 d e 1 - e 2 .