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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 12a

Mostre que um espelho parabólico reflete na direção do foco os raios que incidem paralelos ao seu eixo de simetria seguindo os seguintes passos:

Passo 1

Fala aeee, blz? ;D

A reta r 1 tangente à parábola no ponto P = ( y 0 2 4 p , y 0 ) possui inclinação igual a tan ⁡ α = d y d x = 2 p y 0

Seja r 2 a reta do raio refletido que também passa por P a sua inclinação será dada por tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 - tan 2 ⁡ α

tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 - tan 2 ⁡ α

tan ⁡ 2 α = 2 2 p y 0 1 - 4 p 2 y 0 2

Passo 2

Uma reta no plano possui a forma:

r :   t a n θ x + b = y

Portanto, r 2 será da forma:

r 2 : tan ⁡ 2 α x + b = y

Como o ponto P = y 0 2 4 p , y 0 ∈ r 2 , temos:

r 2 :   4 p y 0 y 0 2 - 4 p 2 y 0 2 4 p + b = y 0

r 2 : b = y 0 - y 0 y 0 2 - 4 p 2 y 0 2

Assim, a equação do raio refletido é:

r 2 : y - y 0 = 4 p y 0 y 0 2 - 4 p 2 x - y 0 2 4 p  

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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