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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 9

Se a cônica de equação r = d e 1 - e cos ⁡ θ representa uma elipse, mostre que o comprimento do seu eixo menor é 2 d e 1 - e 2 .

Passo 1

E aí galera, tudo beleza?

Aqui temos uma equação polar de uma elipse, que iremos trazer para a forma cartesiana e determinar qual é a medida de seus eixos, ou seja, vamos “encontrar” os valores de a e b da equação padrão da elipse na forma cartesiana (que é a medida do semieixo maior e menor).

Passo 2

Veja que r = d e 1 - e cos ⁡ θ ⇒ r 1 - e cos ⁡ θ = d e ⇒ r = d e - e r cos ⁡ θ , mas r cos ⁡ θ = x então r = e ( d - x ) , lembre também que r 2 = x 2 + y 2 .

Agora, elevando ao quadrado ambos os lados e também completando quadrado, temos: r 2 = e 2 d - x 2 ⇒ x 2 + y 2 = e 2 d 2 - 2 d x + x 2 ⇒ x 2 + y 2 = e 2 d 2 - 2 e 2 d x + e 2 x 2

⇒ x 2 - e 2 x 2 + 2 e 2 d x + y 2 = e 2 d 2 ⇒ 1 - e 2 x 2 + 2 e 2 d x + y 2 = e 2 d 2 ⇒ x 2 + 2 e 2 d x 1 - e 2 +

y 2 1 - e 2 = e 2 d 2 1 - e 2 ⇒ x - d e 2 e 2 - 1 2 - d 2 e 4 e 2 - 1 2 + y 2 1 - e 2 = d 2 e 2 1 - e 2 ⇒ x - d e 2 e 2 - 1 2 + y 2 1 - e 2 = d 2 e 2 1 - e 2 +                                                                                                                                              

d 2 e 4 e 2 - 1 2 ⇒ x - d e 2 e 2 - 1 2 + y 2 1 - e 2 = d 2 e 2 1 - e 2 .

Chame x 0 = d e 2 e 2 - 1 , então x - x 0 2 + y 2 1 - e 2 = d 2 e 2 1 - e 2 , ou ainda, na forma padrão é dado por: x - x 0 2 d 2 e 2 1 - e 2 + y 2 d 2 e 2 1 - e 2 1 - e 2 = 1 .

Passo 3

Perceba que a 2 = d 2 e 2 1 - e 2 e b = d 2 e 2 1 - e 2 1 - e ² = d ² e ² e que a < b . Como a é o semieixo menor e, a medida do eixo menor se dará por 2 a = 2 a 2 = 2 d 2 e 2 1 - e 2 = 2 d e 1 - e 2 .

Logo, a medida do eixo menor é dada por 2 d e 1 - e 2 .

Espero ter ajudado 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Transformar a equação em coordenadas retangulares em uma equação em coordenadas polares: x 2 + y 2 = 4 x 2 - y 2 = 4 x 2 + y 2 - 2 y = 0 x 2 - 4 y - 4 = 0
Descreva as regiões a seguir usando coordenadas polares:
Determine o raio e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada: r = 4 cos ⁡ θ r = - 3 sen ⁡ θ r = 3 2 cos ⁡ θ r = - 4 3 sen ⁡ θ
Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares: r = 2 1 - 3 cos ⁡ θ r = 4 sen ⁡ θ r = 9 cos ⁡ θ r = 3 2 + sen ⁡ θ r = tg ⁡ θ r acos ⁡ θ + b sen ⁡ θ - c = 0
Se o centro de uma circunferência que passa pelo polo é (a, α), mostre que sua equação em coordenadas polares é r = 2a cos(θ − α).