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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 2

Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares:

  1. r = 2 1 - 3 cos ⁡ θ
  2. r = 4 sen ⁡ θ
  3. r = 9 cos ⁡ θ
  4. r = 3 2 + sen ⁡ θ
  5. r = tg ⁡ θ
  6. r acos ⁡ θ + b sen ⁡ θ - c = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Aqui vamos usar que:

r = x 2 + y 2

cos ⁡ θ = x x 2 + y 2     e   sen ⁡ θ = y x 2 + y 2

Substituindo...

  1. r = 2 1 - 3 cos ⁡ θ

    2. x 2 + y 2 = 2 1 - 3 x x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 - 3 x x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 2 ⋅ x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 3 x

    1 = 2 x 2 + y 2 - 3 x

    x 2 + y 2 = 2 + 3 x

    Elevando os dois lados ao quadrado:

    x 2 + y 2 = 4 + 12 x + 9 x 2

    8 x 2 + 12 x - y 2 = 4

    Prontinho!

    Passo 2

  2. Vamos fazer o mesmo aqui:

    3. r = 4 sen ⁡ θ

    x 2 + y 2 = 4 y x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 4 y

    x 2 + y 2 - 4 y = 0

    x 2 + y 2 - 4 y + 4 - 4 = 0

    x 2 + y - 2 2 = 4

    Foi mais uma!

    Passo 3

  3. Agora essa:

    4. r = 9 cos ⁡ θ

    x 2 + y 2 = 9 x x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 9 x

    x 2 - 9 x + 81 4 - 81 4 + y 2 = 0

    x - 9 2 2 + y 2 = 0

    Próxima!

    Passo 4

  4. r = 3 2 + sen ⁡ θ

x 2 + y 2 = 3 2 + y x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 3 2 x 2 + y 2 + y x 2 + y 2

1 = 3 2 x 2 + y 2 + y

2 x 2 + y 2 = 3 - y

4 x 2 + y 2 = 9 - 6 y + y 2

4 x 2 + 3 y 2 + 6 y = 9

4 x 2 + 3 y 2 + 2 y + 1 - 1 = 9

4 x 2 + 3 y - 1 2 = 12

x 2 3 + y - 1 2 4 = 1

Passo 2

e )   r = tg ⁡ θ

Lembrando que tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ :

x 2 + y 2 = y x 2 + y 2 x x 2 + y 2

x 2 + y 2 = y x

y = x x 2 + y 2

Passo 3

E por último...

f) r acos ⁡ θ + b sen ⁡ θ - c = 0

x 2 + y 2   a x x 2 + y 2 + b y x 2 + y 2 - c = 0  

x 2 + y 2   a x + b y x 2 + y 2 - c = 0

a x + b y - c = 0

E finalizamos por aqui!

Resposta

  1. 8 x 2 + 12 x - y 2 = 4
  2. x 2 + y - 2 2 = 4
  3. x - 9 2 2 + y 2 = 0
  4. x 2 3 + y - 1 2 4 = 1
  5. y = x x 2 + y 2
  6. a x + b y - c = 0

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Transformar a equação em coordenadas retangulares em uma equação em coordenadas polares: x 2 + y 2 = 4 x 2 - y 2 = 4 x 2 + y 2 - 2 y = 0 x 2 - 4 y - 4 = 0
Descreva as regiões a seguir usando coordenadas polares:
Determine o raio e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada: r = 4 cos ⁡ θ r = - 3 sen ⁡ θ r = 3 2 cos ⁡ θ r = - 4 3 sen ⁡ θ
Se (x, y) são as coordenadas do ponto P num sistema de eixos ortogonais, quais são as coordenadas polares ( R , θ ) desse ponto?
Num sistema de coordenadas oblíquas em que os semi-eixos positivos formam um ângulo α prove que a rotação do ângulo α em torno da origem leva o segmento O P , onde P = x , y , sobre o segmento O P ' o