Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 3a

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 3 ?

a) u 1 =   1 ,   0 ,   0 ,   u 2 =   2 ,   2 ,   0 ,   u 3 = ( 3 ,   3 ,   3 )

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 3 vetores temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 + c ⋅ u 3 = 0

a ⋅ 1 ,   0 ,   0 + b ⋅ 2 ,   2 ,   0 + c ⋅ ( 3 ,   3 ,   3 ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Esse tipo de sistema tem como usar uma regrinha especial pra analisá-lo, vamos fazer uma matriz 3 x 3 sendo nossos vetores os vetores colunares da nossa matriz, assim temos:

u 1 , u 2 ,   u 3 = 1 2 3 0 2 3 0 0 3

Como nossa matriz está na forma escalonada nosso conjunto de vetores será necessariamente L.I.

Dica: Sempre que um conjunto de vetores poder ser arranjado na forma escalonada ele será necessariamente L.I.

Passo 2

Seja um vetor v = ( x ,   y ,   z ) vamos fazer uma combinação linear entre os vetores dados, para provar que nosso conjunto gera R 3 .

a ⋅ 1 ,   0 ,   0 + b ⋅ 2 ,   2 ,   0 + c ⋅ 3 ,   3 ,   3 = x ,   y ,   z

c = z 3 ,   b = y - z 2 ,   a = x - y .

x ,   y ,   z = x - y ⋅ 1 ,   0 ,   0 + y - z 2 ⋅ 2 ,   2 ,   0 + z 3 ⋅ 3 ,   3 ,   3

x ,   y ,   z = x - y + y - z + z ,   y - z + z ,   z → ( x , y , z )

Logo nosso conjunto gera todos vetores no R 3 , assim nosso conjunto é base de R 3

Resposta

É base.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Provar que o conjunto de funções e a t cos ⁡ b t , e a t sin ⁡ b t , onde a e b são números reais e b ≠ 0 , é L.I.
Quais dos seguintes subconjuntos do C 3 são L.I sobre C ? i ,1 ,0 ,1 + i ,2 ,0 ,3 ,1 ,0 i ,1 ,0 ,0 ,1 ,i ,0 ,i ,i { i ,1 ,0 ,2 + i ,3 i ,5 - i ,2 ,4 + 4 i ,4 - 6 i }
Suponha que { u 1 ,… ,u r ,v 1 ,… ,v s } é um subconjunto L.I de um espaço V . Mostrar que u 1 ,… ,u r ⋂ v 1 ,… ,v s = 0
Se { u 1 ,… ,u i ,… ,u j ,… ,u n } é L.I, mostrar que u 1 ,… ,u i ,… ,u j + α u i ,… ,u n Também é L.I, para todo escalar α .
Suponha que { v 1 ,… ,v n } é um subconjunto L.I de um espaço vetorial. Mostrar que { a 1 v 1 ,… ,a n v n } também é L.I, desde que os escalares a i sejam todos não nulos.